精品解析：浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

数学试卷 命题：贺晟 校对：谢丽丽 审核：金洁 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，，则（ ） A B. C. 或 D. 4. 已知圆柱底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 以下说法正确的是（ ） A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个 B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行 C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则 D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个 7. 已知满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（ ） A. B. C. D. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于向量的说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. 互为共轭复数 D. 若，则最大值为6 11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角为定值 C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥外接球表面积为 D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数满足，则的虚部为__________. 13. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________. 14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且是实数. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. （1）若，证明：平面； （2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 17. 设三个内角的对边分别为，且. （1）求的值； （2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. （1）证明：平面平面； （2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数. （1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球棱数； （2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱； （3）已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 命题：贺晟 校对：谢丽丽 审核：金洁 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得. 【详解】 . 故选：A 2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B