专题15分类讨论思想在五种题型中的应用-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题15 分类讨论思想在五种题型中的应用 通用的解题思路： 题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论 1. 假设结论成立； 2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； ② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点. 3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解 题型二、直角三角形的存在问题分类讨论 1. 设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（1，f），△BCF三边长为：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18； 2. 找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论： ① 当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC），分别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交点时，此交点即为符合条件的点； ② 当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点. 3. 计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算. 题型三、不等式（组）中的分类讨论思想 分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在求其解集时要对字母进行分类讨论。 对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。 题型四、方程（组）和函数中的分类讨论思想 在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一 种是分情况讨论问题，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进行分类，出现“重"或“漏"的现象，从而容易导致错误的发生 题型五、圆中的分类讨论思想 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。 题型一、等腰三角形的存在问题分类讨论 1．（2023•广安）如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 2．（2023•澄城县一模）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，直线是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式； （2）在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023•婺城区模拟）在矩形中，，，是上的一点，且，是直线上一点，射线交直线于点，交直线于点，连结、，直线交直线于点． （1）①当点为中点时，求与的长； ②求的值． （2）若为等腰三角形时，求满足条件的的长． 4．（2023•濮阳县模拟）在等腰直角三角形中，，，点为直线上一个动点，绕点将射线逆时针旋转，交直线于点． 在图1中，将绕点逆时针旋转得到，连接， ，， ， 又，， ． 请阅读上述过程，并完成以下问题： （1）得出的依据是 　　（填序号）． ① ② ③ ④ （2）在以上条件下，如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． （3）在等边三角形中，，点为射线上一个动点，将射线绕点逆时针旋转交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，当为直角三角形时，请直接写出的长． 5．（2023•武侯区校级模拟）如图，在矩形中，，将线段绕点逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点． 尝试初探 （1）当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由； 深入探究 （2）若，随