专题13 函数与方程-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版

专题13 函数与方程（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 2 【考点突破】 3 【考点1】函数零点所在区间的判断 3 【考点2】函数零点个数的判定 4 【考点3】函数零点的应用 5 【分层检测】 7 【基础篇】 7 【能力篇】 9 【培优篇】 10 考试要求： 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 知识梳理 1.函数的零点 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 2.函数零点存在定理 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根. 2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. 真题自测 一、单选题 1．（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2023·全国·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 3．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 4．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 5．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 6．（2022·天津·高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 . 考点突破 【考点1】函数零点所在区间的判断 一、单选题 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 2．（2023·宁夏银川·三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·广东广州·三模）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．若函数在上存在零点，则的取值范围是 4．（2023·安徽马鞍山·三模）已知函数的零点为，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2021·四川成都·三模）已知函数，若，且，则的最大值为 ． 6．（2023·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 . 反思提升： 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 【考点2】函数零点个数的判定 一、单选题 1．（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上单调递增 B．若且，则 C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B．的最大值为 C．在上单调递增 D．在上有2个零点 三、填空题 5．（2024·青海西宁·二模）记是不小于的最小整数,例如,则函数的零点个数为 . 6．（2024·山东济南·二模）已知函数，若方程有三个不相等的实数解，则实数a的