专题二次根式-2023-2024学年人教版数学八年级下册期末培优专题复习

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 专题一 二次根式（一） （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一.知识点精讲 知识点1 二次根式的定义 形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数.名师点拨 （1）实质：一个非负数的算术平方根 （2）作为运算条件必须 （3）作为运算结果≥0 注意： （1）必须含有二次根号，“”的根指数是2，通常省略。 （2）二次根式中的被开方数可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。 （3）双重非负性，二次根式表示非负数的算术平方根，因此a≥0 知识点2 二次根式的性质 （1） ≥0（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根. （2）（）2=a（a≥0） 意义：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 （3）2=│a│ 意义：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 （4） 意义：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 （5） （a≥0,b>0） 意义：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 知识点3 最简二次根式 1.满足下列两个条件的二次根式，叫作最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开的尽方的因数或因式；名师点拨 2.对最简二次根式的理解： ①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1； ③分母中不含根号； 2、 易错点点拨 易错点一、二次根式定义 例1-1 .下列各式中不是二次根式的是( ) A. B. C. D. 名师点拨 根据二次根式定义，判断一个式子是不是二次根式时，只看它的初始的外在形态，不看它计算或化简的结果．如，3是的计算结果，是二次根式，形如（）的式子叫做二次根式. 变式训练1 变式1．下列式子中一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 变式2．下列各式中，是二次根式有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 易错点二、二次根式有意义的条件 例2-1 .若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____. 名师点拨 二次根式有意义的条件：被开方数是非负数 （1）如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数。 （2）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是二次根式中的被开方数是非负数，并且分式中分母不为0. （3）如果一个二次根式中既含有二次根式又含有零指数或负指数指数幂那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数且零指数或负指数的指数幂的底数不为0. 变式训练2 变式1．式子有意义，则x的值可能是（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 变式2．如果，那么xy的值是 _____． 变式3．若式子有意义，则实数x的取值范围是 _____． 易错点三、二次根式的性质及化简 例3-1．如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 名师点拨 化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a的符号去绝对值． 例3-2．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ） A. B. C. D. 名师点拨 反过来，a（a≥0）= ， 所以原式 例3-3．若4＜a＜5，则=（　　） A. 2a-9 B. 1-2a C. 2a+1 D. 2a-1 例3-4．若，那么（　　） A. x≥3 B. x≤1 C. 1≤x≤3 D. x=1或者x=3 名师点拨 运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏． 变式训练3 变式1．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（　　） A. 2 B. -2 C. 2a-6 D. -2a+6 变式2．已知a＜b,则化简二次根式的正确结果是（　　） A. B. C. D. 变式3．把二次根式化简为（　　） A. B. C. D. 变式4．若，则_______________________． 变式5．使成立的条件是 _____． 变式6．先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 两种解答中，_________的解答是错误的； 若时，___________． 变式7．已知△ABC的三边分别为a、b、c,化简：++-=_____． 变式8．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值． 易错点四、最简二次根式 例4-1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 名师点拨 根据最简二