专题二 二次根式（二）-2023-2024学年人教版数学八年级下册期末培优专题复习

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 （解析版） 专题二 二次根式（二） （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一.知识点精讲 知识点1 二次根式的乘除 1.二次根式乘法法则： 即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 名师点拨 （1） 法则中的被开方数a、b既可以是数，也可以是式子，但必须是非负的。 （2） 如果没有特别说明，本章所有字母表示正数。 （3） 二次根式的结果是一个二次根式或一个有理式。 （4） 法则对几个二次根式相乘同样适用。 （5） 乘法运算律在二次根式中同样适用。 2 .二次根式的除法法则 即：如果，那么； 语言描述：两个二次根式相除，将它们的被开方数（式）相除，二次根号不变。 名师点拨 （1）法则中的被开方数可以是数也可以是式子，但必须a是非负数，b必须是正数。 （2）进行二次根式相除时，若两个被开方数能够整除，直接应用除法法则进行计算，若两个二次根式不能整除，可以对二次根式进行化简后再相除。 知识点2 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则 二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。 名师点拨 二次根式加减运算的步骤 （1） 化：将各个二次根式化成最简二次根式， （2） 找：找出化简后被开方数相同的二次根式。 （3） 合：合并被开方数相同的二次根式——系数相加作为和的系数，根指数与被开方数不变。 2 .二次根式的混合运算 二次根式混合运算的顺序 二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的（或先去括号）。 2、 易错点点拨 易错点一、二次根式乘法 例1-1．计算： （1）×； （2）×； （3）××； （4）． 名师点拨 1.二次根式被开方数相乘后要将被开方数化成完全平方数（式）与非完全平方数（式）的积的形式，再利用2=│a│进行化简 2.当二次根式的系数不为1时，可类比单项式与单项式相乘的法则进行计算，即ax c=ac（b≥0,d≥0） 变式训练1 1.计算 2 .已知，则有( ) A. B. C. D. 易错点二、二次根式除法 例2-1．计算：. 名师点拨 （1） a是b的倍数或a、b是分数时，常用计算。 （2） a、b中的被开方数含有完全平方数时，先将完全平方数开方，再进行除法运算。 （3） 当根号前含有系数时，应先把根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把所得的商相乘。 变式训练2 1．计算： （1）； （2）. 2．计算： （1）；（2）；（3）；（4）. 3．计算的结果是_________. 易错点三、二次根式加减 例3-1 .计算:________. 名师点拨 二次根式加减运算的步骤 （4） 化：将各个二次根式化成最简二次根式， （5） 找：找出化简后被开方数相同的二次根式。 （6） 合：合并被开方数相同的二次根式——系数相加作为和的系数，根指数与被开方数不变。 变式训练3 1．计算： （1）； （2）． 2．计算：． 3．计算： （1） （2） 易错点四、二次根式的混合运算 例4-1．计算：． 名师点拨 二次根式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的（或先去括号）。 解题策略： 1. 牢记运算顺序和运算法则可确保运算正确。 2. 运用运算律与乘法公式可简化运算。 3. 结果必须化成最简二次根式。 变式训练4 1．计算： （1） （2）． 2．计算： 3．计算： 易错点五、二次根式的化简求值 例5-1．已知，，求下列代数式的值． （1）． （2）． 名师点拨 求有关二次根式的代数式的值的步骤 （1） 化简：化简代数式，当字母表示的二次根式不是最简形式时，要将其化简。 （2） 代入：将字母表示的值代入化简后的代数式。 （3） 计算：计算得出结果并化为最简形式。 变式训练5 1．若，，求下列代数式的值． （1）； （2）． 2．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）＝ ； （2）化简； （3）若，求的值． 3、 单元检测卷 (一)、选择题(共10题,每小题3分，共30分) 1．下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（  ） A. B. C. D. 3．估算 的值应在 （ ） A. 2 到 3 之间 B. 3 到 4 之间 C. 4 到 5 之间 D. 5 到 6 之间 4．实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（  ） A. B. 0 C. D. 5．下列计算正确的是（ ）