精品解析：湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

湖南省长沙市第一中学、长沙市一中城南中学等多校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且.若某商场购入500袋这种大米，则该种袋装大米的质量在的袋数约为（ ） A. 300 B. 350 C. 400 D. 450 3. 已知，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4 4. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天.若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有（ ） A. 60种 B. 66种 C. 72种 D. 78种 6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，可以设置不同的激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是单调递增函数 C. 方程有唯一解 D. 恒成立 7. 今天是星期天，则天后是（ ） A. 星期五 B. 星期六 C. 星期天 D. 星期一 8. 已知正四棱锥外接球的半径为3，内切球的半径为1，则该正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若集合含有个元素，则称为元集，的子集中含有个元素的子集叫做的元子集.已知集合，，则（ ） A. 2元集 B. 的2元子集有10个 C. 是5元集 D. 是的9元子集 10. 已知随机变量服从二项分布，，下列判断正确是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 的最大值为 11. 边长为2个单位长度的正方形如图1所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形和的组合图形如图2所示.将正方形向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到正方形，正方形，和的组合图形如图3所示.依此类推，得到图，则（ ） A. 图3中矩形的个数为11 B. 图4中矩形的个数为19 C. 图10中矩形个数为81 D. 图1至图20中所有知形个数之和为1732 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 记的内角的对边分别为，，，且，，则______. 13. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是______. 14. 做一个容积为的圆柱形封闭容器，要求所用材料最省，则该容器的底面半径为______，表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，平面与半圆弧所在的平面垂直，是上异于，的点. （1）证明：直角三角形. （2）若是上更靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 已知数列的前项和为，，，且. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，数列的前项和为，证明：. 17. 已知为抛物线：的焦点，第一象限内的点在上，点的纵坐标等于横坐标的4倍，且. （1）求的方程； （2）若斜率存在的直线与交于异于的，两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为16，证明：过定点. 18. 京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. （1）甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. （2）乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐