专题13隐圆问题3种模型-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题13隐圆问题3种模型 通用的解题思路： 隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。 类型1：定点定长 1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形． （1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则　　． 如图，中，，，． （2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小． （3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由． 2．（2024•兰州模拟）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在中，，，点为平面内一点（点，，三点不共线），为的中线． 【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明： ①；②； 【类比探究】（2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明； 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点在以点为圆心，为半径的圆上运动，直线与直线相交于点，连接，在点的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值． 3．（2022•番禺区二模）已知抛物线与轴交于点，两点，，．其顶点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）设点在抛物线第一象限的图象上，垂足为，轴交直线于点，当面积等于4时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是抛物线上的一点，点从点运动到达点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为，，三点构成的三角形的外心，求点经过的路线长． 4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到　　． （2）问题解决： 如图，在四边形中，，，求的度数． （3）问题拓展： 抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在抛物线上，直线交轴于点，连接． ①若含角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求的坐标； ②若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上，点与点，点不重合，求点的坐标． 类型2：定弦定角 1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出 （1）如图①，已知为边长为2的等边三角形，则的面积为 　　； 问题探究 （2）如图②，在中，已知，，求的最大面积； 问题解决 （3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角，请你通过所学知识进行分析，在墙面区域上是否存在点满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，为等腰三角形，，，是上一点，且平分的面积，则线段的长度为 　　． 问题探究：（2）如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃，满足米，米，，，主办方打算过的中点点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点（出口）为四边形边上一点，通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道？若存在，请求出点距出口的距离的长；若不存在，请说明理由． 3．（2023•柯城区校级一模）如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点． （1）使的点有 　　个； （2）若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标； （3）当点在轴上移动时，是否有最大值？若有，求点的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由． 类型3：四点共圆 1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务． 西姆松定理是