专题12相似三角形四种模型-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题12 相似三角形四种模型 通用的解题思路： 题型一：相似三角形基本模型（X字型） 【方法点拨】基本模型： X字型（平行） 反X字型（不平行） 题型二：相似三角形基本模型（A字型） 【方法点拨】基本模型： A字型（平行） 反A字型（不平行） 题型三：相似基本模型（K字型（一线三等角）） 【方法点拨】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 题型四：相似三角形基本模型（旋转型（手拉手）） 【方法点拨】基本模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 题型一：相似三角形基本模型（X字型） 1．（2024•韶关模拟）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架与交于点，测得，． （1）若，求的长； （2）将桌子放平后，两条桌腿叉开角度，求距离地面的高．（结果保留整数）（参考数值， 2．（2024•西安校级模拟）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，在同一水平线上．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？ 3．（2024•常州模拟）图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点，并与过凸透镜中心的光线交于点，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距和像的长． 4．（2023•浉河区校级三模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．如图，是的边上的中线． 让我们先看看三角形的中线有什么特点． （1）初步观察： 连接，则与的数量关系是：　　； （2）初步探究： 请帮助莹莹求出的面积； （3）猜想验证； 莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由； （4）拓展探究： 莹莹把 剪下后得△，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 5．（2023•南关区四模）如图，是的直径，．动点从点出发，在上沿顺时针方向运动到终点，速度为每秒个单位．同时动点从点出发，在上沿顺时针方向运动，速度为每秒个单位．当点到达终点时，点也随之停止运动．连结、．设点的运动时间为秒． （1）的周长为 　　； （2）当点与点重合时，求所在的扇形的面积； （3）当时，求的值； （4）作半径的垂直平分线交于点、，连结．当将线段分成的两部分时，直接写出的值． 6．（2023•海曙区校级三模）如图1，在菱形中，，点是对角线上的动点，是的外接圆，，设的半径为，． （1）如图2，当时，求证：是切线； （2）延长交射线于点． ①如图3，若为直径，求的长； ②如图4，若点、、三点共线，求的值； （3）当时，直接写出与的函数关系式：　　． 7．（2024•庐江县一模）已知：如图，和中，，，，且点、、在一条直线上，联结、，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 8．（2024•镇海区校级二模）四边形内接于，是的直径，连结交于点，，垂足为． （1）如图1，若交于点． ①求证：； ②若的直径为10，，，求的长． （2）如图2，若交于点，连结，若，，，求的直径． 9．（2023•谷城县模拟）在和中，，，点在线段上． （1）【特例证明】如图（1），当时，，证明：； （2）【类比探究】如图（2），当，点是线段上任一点时，证明： ①； ②； （3）【拓展运用】如图（3），当时，，，求长． 10．（2023•深圳模拟）（1）【探究发现】如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，． ①小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长交于点． ②进一步探究发现，当点与点重合时，　　． （2）【类比迁移】如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连