精品解析：广东省广州市第六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

广州市第六中学2023级高一（下）数学期中考试 一．单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 若集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A B. C. D. 3. 已知，则 A B. C. D. 6 4. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：（为正常数，为原污染物数量）.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 小时 8. 设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 17 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分选对得部分分，选错不得分） 9. 设，，为三个平面，l，m，n为三条直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若l上有两点到的距离相等，则 C. ，，两两相交于三条直线l，m，n，若，则 D. 若，，，，则 10. 对于中，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则的最小值为 D. 点在所在平面且，，则点的经过的外心 11. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若的外心为O，则为定值2 C. 若，则点Q的轨迹长度为 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 若指数函数（，且）过，则___________.（将结果化为最简） 13. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为______． 14. 已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则_______． 四．解答题（共4小题，共77分，其中15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． （1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求三棱锥体积． 16. 已知函数（其中）的图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围． 17. 如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，. （1）试用表示向量； （2）求的值. （3）延长线段交于，设，求实数的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，求周长的最大值； （3）求的取值范围． 19. 已知函数和定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得 （其中），则称为的“重覆盖函数”． （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”请直接写出正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市第六中学2023级高一（下）数学期中考试 一．单选题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 若集合，，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据指数不等式求出集合，即可求出，从而判断其子集个数. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以，则的子集有个. 故选：C 2. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的模长公式和复数的除法法则可求得复数，进而可得出复数的虚部. 【详解】，因此，. 因此，复数的虚部为. 故选：D. 【点睛】本题考查复数虚部的求解，同时也考查了复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，考查计算能力，属于基础题. 3. 已知，则 A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 利用三角函数的诱导公式和三角函数的基