专题11全等三角形六种基本模型-2024年中考数学压轴题专项训练（全国通用）

专题11 全等三角形六种基本模型 通用的解题思路： 模型一：一线三等角模型 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 模型二：手拉手模型——旋转型全等 一、等边三角形手拉手-出全等 二、等腰直角三角形手拉手-出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Com] 1 △BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 题型三：倍长中线模型构造全等三角形 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。 三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 主要思路：倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 题型四：平行线+线段中点构造全等模型 题型五：等腰三角形中的半角模型 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 题型六：角平分线+垂直构造全等模型 类型一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直 当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题. 类型二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直 当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题. 模型一：一线三等角模型 1．（2023•石家庄模拟）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒． （1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度； （2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值． 2．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 3．（2023•承德二模）如图1，经过的三个顶点，圆心在斜边上，，直径所对的弧长为长的3倍，将等腰的直角顶点放置在边上，于点． （1）　　； （2）求证：； （3）如图2，当点落在上时，求的长． 4．（2023•凤台县校级二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用：（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证；． （2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离． （3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值． 5．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段． ①当点在抛物线上时，求点的坐标； ②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标． 6．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点． 观察发现： （1）如图1，当，两点均在直线的上方时 ①猜测线段，与的数量关系并说明理由； ②直接写出线段，与的数量关系； 操作证明： （2）将等腰直角三角