精品解析：广东省梅州市梅县东山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

东山中学2023—2024学年度高一第二学期数学期中检测（试卷） 2024-04 命题人：周丽红 谢婷婷 孔鑫辉 高波 审核人：陈志远 总分：150分 总时长：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知为第二象限角，且，则（    ） A. B. C. D. 5. 在中，，则形状为（ ） A 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 6. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ） A. B. 8 C. D. 10 7. 在中，角的对边分别为，且，若三角形的面积为，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 8. 在中，，点在所在平面内，对任意，都有恒成立，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若点坐标为，则对应的点在第三象限 C. 若，则的模为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象可由函数向左平移个长度单位得到 B. 是函数图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上只有一个根时，实数a的取值范围为 11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 当时，面积的最大值为 D. 取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则______________. 13. 定义是向量和的“向量积”，其长度为，其中为向量和的夹角.若，，则________. 14. 在中，已知，点和点分别在边BC和AC上，AD平分角，相交于点，则______ 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）若，求复数的共轭复数． 16. 已知，． （1）若，求的坐标： （2）若与的夹角为120°，求在向量上的投影向量的模． 17. 已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. （1）求函数的单调递增区间； （2）若内角的对边分别为，且，求面积的最大值. 18. 如图，某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为M，，设. （1）将、用含有的关系式表示出来； （2）该山庄准备在M点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计OA、OB的长度，使得喷泉M与山庄O的距离最大？喷㬌M与山庄O的距离最大？ 19. 元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则． （1）设，解决下面问题： ①求； ②设与的夹角为，求； （2）对于一个元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东山中学2023—2024学年度高一第二学期数学期中检测（试卷） 2024-04 命题人：周丽红 谢婷婷 孔鑫辉 高波 审核人：陈志远 总分：150分 总时长：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数