专题4.2 一次函数与几何压轴（八大题型）-2023-2024学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题4.2 一次函数与几何压轴（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数与将军饮马问题】 【题型8 一次函数中45°角问题】 【题型1 一函数中面积问题】 【解题技巧1】铅锤法求三角形面积 【解题技巧2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【解题技巧3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴，y轴于A、B两点．过点B的直线BM交x轴正半轴于点M，且直线BM把△AOB分成面积之比为1：2的两部分． （1）求点A、B的坐标； （2）求直线BM的表达式； （3）当OM＜MA时，试在直线BM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB，直接写出点P的坐标． 【变式1-1】如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A（﹣6，0）、点B，点P是直线AB上的一个动点，连接OP． （1）求不等式kx+3＞2的解； （2）若△BOP的面积是△AOB面积的，求点P的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与直线CD：y2＝mx+n交于点A（4，a），直线CD交y轴于点D（0，9）． （1）求直线CD的解析式； （2）直接写出当y1＜y2时，x的取值范围； （3）若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝﹣x+4的图象与过点A（0，2）、B（﹣3，0）的直线交于点P，与x轴、y轴分别相交于点C和点D． （1）求直线AB的函数表达式及点P的坐标； （2）连接AC，求△PAC的面积． 【变式1-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x+1与y轴交于点A，直线l2与y轴，x轴交于点B，点C，l1与l，交于点D（1，m），连接OD，已知OC的长为4． （1）求点D的坐标及直线l2的解析式； （2）求△AOD的面积； （3）若直线l2上有一点P使得△ADP的面积等于△ADO的面积，直接写出点P的坐标． 【变式1-5】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（6，0）． （1）求直线BC的解析式； （2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成1：2的两部分，请求点G的坐标； 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【解题技巧】等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx+b经过点A（1，3），与y轴相交于点B（0，2）． （1）求直线l的函数表达式； （2）在y轴上是否存在点M，使△ABM是等腰三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象l1分别与x轴，y轴交于点A，点P，经过点P的直线l2交x轴的正半轴于点B，且OP＝2OB． （1）如图①，求点A的坐标及直线l2的函数表达式； （2）如图②，取OP的中点Q，过点Q作QN∥x轴，交直线l2于点N，连接NO，求△PON的面积； （3）在（2）的条件下，延长NQ交直线l1于点M，如图③，若C为y轴上一点，且以M，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【变式2-2】直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（8、0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC＝4：3 （1）求点B的坐标为