精品解析：广东省广州市真光中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

广州市真光中学2023学年第二学期期中考试 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有1项符合题目要求． 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则实数（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 任意实数 5. 已知，为不共线向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 6. 已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 分别以锐角三角形的边AB，BC，AC为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积之比为，则（ ） A B. C. D. 8. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，则有.设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B 若，则 C. 若，，，则 D. 若为的垂心，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 若，则的面积是 D. 若外接圆半径是，内切圆半径为，则 11. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若且，则的最小值是_______． 13. 已知，，则______． 14. 由正三棱锥截得的三棱台的各顶点都在球的球面上，若，三棱台的高为2，且球心在平面与平面之间（不在两平面上），则的取值范围为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知． （1）求与的夹角； （2）若在方向上的投影向量为，求的值． 16. 在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点. （1）求、的长； （2）求的余弦值. 17. 某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； （1）求塑胶跑道总长关于的函数关系式； （2）当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值． 18. 已知正三棱锥，顶点为，底面是三角形． （1）若该三棱锥的侧棱长为1.且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至画到出发点，求质点移动路程的最小值: （2）若该三棱锥所有棱长均为1，试求以为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积； （3）若该锥体的体积为定值，设为点在底面的投影，点到的距离为，于点，连接得．求出当三棱锥的表面积最小时，角的余弦值. 19. 在中，内角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）已知，点是边上的两个动点（不重合），记. ①当时，设的面积为，求的最小值: ②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图: 它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市真光中学2023学年第二学期期中考试 高一数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题四个选项中，只有1项符合题目要求． 1. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式求解. 【详解】 . 故选：B 2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z，根据复数的几何意义即可得答案. 【详解】由得， 则，即在复平面