精品解析：上海市大同中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

上海市大同中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 90分钟 满分100分 班级______姓名______学号______ 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1. 若复数满足，则______. 2. 数列中，，则__________. 3. 在平行四边形中，，则______. 4. 已知向量，，若与共线，则实数______． 5. 若是方程的一个虚数根，则______. 6. 记等差数列的前项和为，则______. 7. 已知，则______. 8. 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则=______. 9. 已知函数在区间上恰有三个零点，则取值范围是__________. 10. 已知非零向量满足，.若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为______ 11. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为严格减数列”是“存在正整数，当时，”的______条件．（选填“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充分必要条件”，“既不充分也不必要条件”） 12. 若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，每题3分，满分12分） 13. 设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（ ） A. 向东南走 B. 向西南走 C. 向东南走 D. 向西南走 14. 设是复数，则下列命题中的假命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 黑洞原指非常奇怪天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的定义域均为，且．对任意的均有成立，且．则下列说法正确的个数有（ ） ①． ②．为奇函数 ③．的周期为6 ④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 已知复数是纯虚数（为实数）． （1）求的值； （2）若，复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求的最小值，并求出此时对应的x的值； （2）写出在的单调区间，并求出此时的值域. 19. 在中，，，，边上一点，，设，． （1）试用，表示； （2）求值． 20. 在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 21. 对，定义． （1）求的最小值； （2），有恒成立，求A的最大值； （3）求证：不存在，且m＞n，使得恒定常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市大同中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 90分钟 满分100分 班级______姓名______学号______ 一、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分） 1. 若复数满足，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的几何意义直接求解即可. 【详解】由，得. 故答案为：5 2. 数列中，，则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据递推关系求解即可. 【详解】由， 可得，， . 故答案为：15 3. 在平行四边形中，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】先求得的坐标，再根据坐标计算其模长即可. 【详解】因为四边形为平行四边形，故，故. 故答案为：. 4. 已知向量，，若与共线，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为与共线， 所以，解得. 故答案为：. 5. 若是方程的一个虚数根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法求出一元二次方程的解可得，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以方程的根为， 即或. 故答案为： 6. 记等差数列的前项和为，则______. 【答案】160 【解析】