精品解析：重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2026级高一（下）期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本颎共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 已知复数满足（虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 设有两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知a.b.c分别是的内角A､B､C的对边，若，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 5. 已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设三个内角，，的对边分别为，，，且，，则下列条件能使解出的有两个的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，，当取得最大值时，为（ ） A. B. C. D. 8. 已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，过直三棱柱棱作截面分别与棱，相交于，（，不与顶点重合），则下列判断正确的有（ ） A. B. 直线与直线共面 C. 几何体为棱台 D. 当为中点时，几何体与三棱柱的体积之比为 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 若，则外接圆半径为 D. 若周长为15，则内切圆半径为 11. 重庆南开中学校徽的核心图像为八角星形，八角星形由两个正方形叠加、结合而成，八个角皆为直角，分别指向东、西、南、北、东南、东北、西南、西北八个方向.一是体现“方方正正做人”之意，二是体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神.八角星形方圆互动，融合东西，体现了南开中学“智圆行方”的入世哲学、“追求卓越”的立世哲学和“允公允能”的济世哲学.如图，，，，，，，，是半径为1的上的八个等分点，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. 若在正方形的边上移动，，则 则 D. 若在正方形的边上移动，在正方形的边上移动，在圆上移动，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 13. 已知复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数______. 14. 如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，是平面内两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，，，，恰好构成平行四边形，求点的坐标. 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为棱，上的点，且，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在求出的值；若不存在，说明理由. 17. 某公园湖心有一浮动观景亭，湖边一点到观景亭的一座桥长为米.现公园打算升级改造，在湖边选取两个点，，新建两座桥梁，，且. （1）若为中点，且米，求两座桥梁长度之和的值； （2）若，已知玻璃桥建设成本为2千元/米，普通桥的建设成本为1千元/米，若用玻璃桥，用普通桥梁，不考虑其他费用支出，请你帮公园规划部计算一下，建设这两座桥梁总预算成本的最大值（单位：千元） 18. 已知内角，，的对边分别为，，.若. （1）求； （2）若，求的值； （3）如图所示，若，三等分，，在线段上（靠近），已知，求. 19. 我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. （1）若，求出，； （2）如图，若，以为边作等边，且在上