精品解析：北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

北师大二附中2025届高二第二学期期中数学试题 一、单选题 1. 在等差数列中，若，则（ ） A 6 B. 10 C. 7 D. 5 2. 已知数列的通项公式为＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 非任何一项 3. 《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾（注：从第天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布，则第天织的布的尺数为 A. B. C. D. 4. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于(　 　) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 5. 已知等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则　　 A. 4 B. 10 C. 16 D. 32 6. 李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次．已知月日李明分别去了这四家超市配送，那么整个月他不用去配送的天数是（ ） A. B. C. D. 7. “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. C. D. 8. 已知等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 等比数列中，，，函数，则 A. B. C. D. 10. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是(　 　) A B. C. D. 二、填空题（共5小题；共10分） 11. 已知是等差数列，若，则_______. 12. 已知函数，且，那么的值为_____． 13. 是正项等比数列的前和，，，则______．公比______． 14. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积取得最大值时，的值为_________. 15. 小明用数列{an}记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1，当第k天没下过雨时，记ak＝﹣1（1≤k≤31）；他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bk＝1，当预报第k天没有雨时，记bk＝﹣1（1≤k≤31）；记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+…+a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为_____；若a1b1+a2b2+…+akbk＝m，则气象台预报准确的天数为_____（用m，k表示）. 三、解答题 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）求的最小值． 17. 已知在直三棱柱中，，直线与平面ABC成的角． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点． （1）求函数的解析式； （2）求函数的递增区间； （3）求函数在区间上的最大值和最小值． 19 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，，则． 20. 已知椭圆过点，且. （1）求椭圆的方程； （2）设为原点，过点的直线与椭圆交于，两点，且直线与轴不重合，直线，分别与轴交于，两点.求证：为定值. 21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，． （1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值； （2）当时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值； （3）记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大二附中2025届高二第二学期期中数学试题 一、单选题 1. 在等差数列中，若，则（ ） A. 6 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：，代入可得，而要求的值为，代入可得． 【详解】由等差数列的性质可得： 所以，即，， 故， 故选：B． 2. 已知数列的通项公式为＝n2－n－50，则－8是该数列的(　　) A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 非任何一项 【答案】C 【解析】 【分析】令，解出正整数n即为数列的第几项. 【详解】由题意，令，解得或（舍），即为数列的第7项. 故选C. 【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟