第2章 专题4 圆锥曲线中的范围、最值问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 4 专题4 圆锥曲线中的范围、最值问题 刷难关 2 1.[湖南湘潭大学附属实验学校2024高二期中] 已知是抛物线 上一点， 过的焦点的直线与交于,两点，则 的最小值为( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 3 解析 因为 是抛物线上一点， 所以，故 ， 则抛物线C的方程为, . 设,，不妨设 ， 设直线的方程为 ， 联立消去得，所以, ， ， 则 ， 当且仅当,即,时，等号成立，故 的最小值为9，故选D. 4 2.[天津第五十五中学2024高二期中] 如图，圆与离心率为 的椭圆 相切于点，过点 引两条互相垂直的直线 ，，两直线与两曲线分别交于点，与点，（均不重合）．若 为椭 圆上任一点，记点到两直线的距离分别为，，则 的最大值是 ( ) C A.4 B.5 C. D. 5 解析 由题可知,解得所以椭圆C的方程为，圆 的方程为 . 设，因为 ， 所以 . 又因为，所以 ， 因为，所以当时，取得最大值 ， 此时点 ．故选C． 6 【规律方法】解决圆锥曲线中最值与范围问题的方法 （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形的特征及意义，则考虑利用曲线的定义、 几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解． （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求 这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单 调性法等． 7 3.（多选）[湖北荆州2023高二月考] 已知双曲线的左、右焦点分别是,,点 在双曲 线的右支上,则下列说法正确的是( ) AC A.若直线的斜率为,则 B.使得为等腰三角形的点 有且仅有2个 C.点到两条渐近线的距离的乘积为 D.已知点,则 的最小值为5 8 解析 对于A,由题意可知,,设, , 则直线的斜率 , , 令,,则 , 令, , 则在上单调递减,,则 ,故A正确. 对于B,当时,满足条件的点 有两个; 当时,满足条件的点 有两个; 易得不存在点满足 , 9 满足为等腰三角形的点 有4个,故B错误. 对于C,双曲线的渐近线方程为,即 , 点到两条渐近线的距离的乘积为 ,故C正确. 对于D,点与在双曲线两侧，当,,三点共线，且点在线段上时, 有最小值, 此时,故D错误.故选 . 4.[江西南昌二中2024九省联考考后适应性考试] 已知为曲线 上任意一点， 直线,与圆相切，且分别与交于,两点， 为坐标原点. （1）若为定值，求 的值，并说明理由； 11 【解】由题意设,，当直线的斜率不为0时，设直线 ，因为 直线与圆相切，所以 ，即 ， 联立可得 ， 所以,, , 所以 ， 所以 ， 因为，所以，要使为定值，则 ， 所以或 . 12 当直线的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以直线的方程为或 ，不妨取 ，联立可得,所以 ， 所以 ，也符合上式. （2）若，求 面积的取值范围. [答案] 综上，n的值为或当时，由（1）可知，则 ，同理 ,即,,三点共线，所以 . 当直线的斜率不为0时，由（1）可知,,所以 ， 因为，所以 ， 14 令，所以 ， 所以当时， 有最小值，为2； 当时，有最大值，为 . 当直线的斜率为0时，由（1）可知 . 综上,面积的取值范围 . 15 $$