第1章 专题2 与直线有关的最值问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 2 专题2 与直线有关的最值问题 刷难关 2 1.直线与直线交于点，是实数，为坐标原点，则 的 最大值是( ) B A.2 B. C. D.4 题型1 两点间距离的最值问题 3 解析 因为与的交点坐标为 , 所以 ， 当时，，所以的最大值是 ，故选B. 题型1 两点间距离的最值问题 4 2.[四川成都2024高二月考] 已知点，，点在线段 （含端点）上移动， 则 的最小值为___. 5 解析 的几何意义为点与点的距离，由图形可得 ， 两点的距离最短，则所求最小值为 . 题型1 两点间距离的最值问题 5 3.（多选）[江西抚州一中2024高二月考] 2023年动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐 诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻， 想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说： “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即 将军在白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马，再回军营，怎样走才能使总 路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为 ，河岸线所 在直线的方程为 ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营的总路程最短，则 ( ) BD A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B.将军在河边饮马的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D.“将军饮马”走过的总路程为 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 6 解析 由题可知点A,B在直线 的同侧，设点B关于直线 的对称点为 ，如图所示. 则解得即 .要使将军走过的总路程最短,则 将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线 . 因为，所以直线的方程为,即 ，故A错误. 设将军在河边饮马的地点为，则即为直线与 的交点，联立两直 线方程解得, ，故B正确. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 7 将军从河边回军营的路线所在直线为直线，又，所以直线 的方程为 ,即 ，故C错误. 总路程 ， 所以“将军饮马”走过的总路程为，故D正确.故选 . 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 4.[河南南阳六校2023高二联考] 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事 休”.事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：求 可以 转化为求平面上点与点 之间的距离.结合上述观点，可得 的最小值为( ) C A. B. C. D. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 9 解析 ， 可以看作平面上点与点， 的距离和，如图所示，连 接,所以 ,当且 仅当A, ,B三点共线时等号成立.故选C. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 10 5.已知实数，满足，则 的最大值 为_____. 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 11 【思路导引】 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 12 解析 由题可知， 表示的是直线上一点到定点， 的距 离之差. 如图，设点关于直线对称的点为 ， 则 解得当,,三点共线时，最大，即 最大， 所以 的最大值为 . 题型2 与距离之和（差）有关的最值问题 13 6.[安徽六安2024高二期中] 过定点的直线与过定点 的直线 交于点（与，不重合），则 面积的最大值为( ) C A. B. C.2 D.4 题型3 与面积有关的最值问题 14 解析 动直线化为，可得定点 ， 动直线化为，可得定点 . 因为，所以直线 与直线 垂直，为交点，所以 ,所以 .则 ，当 且仅当时，等号成立.故 面积的最大值为2.故选C. 题型3 与面积有关的最值问题 15 7.在平面直角坐标系（为坐标原点）中，不过原点的两直线 ， 的交点为，过点分别向直线，引垂线，垂足分别为， ，则四边 形 面积的最大值为( ) D A.3 B. C.5 D. 题型3 与面积有关的最值问题 16 解析 将直线的方程变形得，由得则直线过定点 ， 同理可知，直线过定点 ， 所以直线和直线的交点的坐标为，由 可知 直线，如图所示，连接 . 所以四边形为矩形，且 . 设，，则，四边形 的面积 ， 当且仅当即时，等号成立，因此，四边形面积的最大值为 ，故选D. 题型3 与面积有关的最值问题 17 8.[山东烟台2024高二月考] 已知定点与定直线，过点的直线与 交于第一象 限点，与轴正半轴交于点，则使面积最小的直线 的方程为_______________. 题型3 与面积有关的最值问题 18 【思路导引】根据题意，画出平面直角坐标系及点的位置，根据直线过点设出直线 的方程， 分别求出点,的坐标，从而用代数式表示出 的面积，进而可求出最小值.注意分直线斜 率存在和不存在两种情况讨论. 题型3 与面积有关的最值问题 19 解析 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由得 即，又易知，所以的面积 . 当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为，令 ，得 ，又由消得到 . 由题知得或 ， 此时的面积 . 题型3 与面积有关的最值问题 20 令，得到，则 . 又因为，且或，即或 ，故 或，所以，故 ， 当且仅当,即 时，取等号. 因为，所以使面积最小的直线的方程为，即 . 题型3 与面积有关的最值问题 21 $$