第1章素养检测-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 1 第一章素养检测 刷速度 2 1.[辽宁省实验中学2024高二期中] 设直线的方程为，则直线的倾斜角 的范 围是( ) C A. B. C. D. 3 解析 当时，方程为，倾斜角 ; 当时，直线的斜率，又 ， 则 ， 所以 . 综上，直线的倾斜角 的范围是 .故选C． 4 2.已知点，点在直线上.若直线垂直于直线，则点 的 坐标是( ) C A. B. C. D. 5 解析 利用排除法.由点在直线上,排除A,B.由 ,排除D.故选C. 3.已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是， ，则这个圆的方程 为( ) B A. B. C. D. 7 解析 由题意得，该圆的圆心为，圆的直径为，半径为 ,所 以圆的方程为，即 ，故选B. 8 4.[安徽合肥一中2024高二期中] 已知点，，若直线与线段 有 公共点，则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 9 解析 由题意知直线过定点，易求直线 的斜率 ，直线的斜率，直线 的斜率 ，作出线段及直线, ，如图，由图知， 或，即或 ,故选C. 10 5.方程 表示的曲线为( ) C A.两条线段 B.一条直线和半个圆 C.一条线段和半个圆 D.一条射线和半个圆 11 解析 由，解得 . 因为，所以或 ， 表示一条线段. 因为，所以，，即 表示以原点为圆心的半个圆.故选C. 12 6.[四川成都树德中学2024高二期中] 已知圆 ，圆 ，,分别是圆,上的动点，为直线 上的动点，则 的最小值为( ) B A.6 B.10 C.13 D.16 13 解析 的圆心为，半径 ， 的圆心为，半径 ， 如图所示，的最小值为 的最小值. 设点关于直线的对称点为 ， 则解得 故，连接 ， 则即为的最小值，故的最小值为 ，故 的最小值为 .故选B. 14 7.已知圆的方程为，过直线上任意一点作圆 的切线. 若切线长的最小值为，则直线 的斜率为( ) C A.4 B. C. D. 15 解析 由，得圆心，过直线 上 任意一点作圆C的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线 上的点的距离最 小，最小值为圆心到直线 的距离，根据题意作图，如图所示. 圆的半径为1，切线长的最小值为， 圆心到直线 的距离等于 . 由点到直线的距离公式得，解得.此时直线的斜率为 .故选C. 16 8.[福建龙岩2024高二月考] 直线与轴、轴分别交于,两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是( ) A A. B. C. D. 17 解析 直线与轴、轴分别交于A，B两点， 令 ， 得，令，得，， ，则 . 点在圆上， 设 ， 点到直线 的距离 ， ， ， 的面积为，面积的取值范围为 ．故选 A． 18 【多种解法】同上求得，则点到直线的距离决定了 面积的范围. 设圆心为，.分析可得点到直线的距离减去圆的半径为点到直线的距离 的 最小值，点到直线的距离加上半径为的最大值，因此 ，即 ,的面积为 .故选A. 19 9.[吉林长春东北师大附中2024高二期中] 已知直线 ，动直线 ，则下列结论错误的是( ) AC A.不存在，使得的倾斜角为 B.对任意的，与 都有公共点 C.对任意的，与都不重合 D.对任意的，与 都不垂直 20 解析 对于A，存在，使得的方程为，其倾斜角为 ，选项A错误； 对于B，直线过点 ，直线 过定点 ，选项B正确； 对于C，当时，直线的方程为，即，与 重合，选项C错误； 对于D，若两直线垂直，则，方程无解，故对任意的，与 都不垂 直，选项D正确.故选 . 21 10.[湖南长沙2024高二期中] 若点在圆上，点 在圆 上，则下列说法正确的有( ) BC A. 的最小值为0 B. 的最大值为7 C.两个圆心所在直线的斜率为 D.两个圆的相交弦所在直线的方程为 22 解析 根据题意，圆，其圆心，半径 . 圆，即，其圆心，半径 . 圆心距,两圆外离，则的最小值为 ，最大值为 ，故A错误，B正确. 对于C，已知圆心，圆心，则两个圆心所在直线的斜率 ，C正确. 对于D，因为两圆外离，所以不存在相交弦，D错误.故选 . 23 11.[江苏无锡一中2023高二期中] 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他 发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这 个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中， ， ，点满足，设点所构成的曲线为 ，下列结论正确的是( ) ACD A.的方程为 B.在上存在点到点 的距离为4 C.上的点到直线 的最大距离为6 D.过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为 24 解析 设，则 ， 化简得 ，选项A正确； 将圆C的方程化为标准方程得，则圆心为 ，半径为4，易知点 在圆C的外部，则圆上的点到点 的最小距离为 ，则在圆C上不存在点到点 的距离为4，选 项B错误； C上的点到直线的最大距离为圆心到直线 的距离加上半径，即 ，选项C正确； 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即 ，由于圆C的 半径为4，则要使C上恰有三个点到直线的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即 ， 解得，选项D正确.故选 . 25 12.[广东惠州2024高二期中] 直线 过定点______. 解析 由直线可得, ， 由解得所以直线过定点 . 26 13.已知的方程是，的方程是，动点到 和 所引的切线长相等，则动点 的轨迹方程是______. 解析 由题可知，两圆方程相减，得动点的轨迹方程是 .亦可以推导如下： 设，点到和所引的切线长为，， ， ，，即 . 27 14.著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为 ,, 的三个圆两两外切，同 时又都与半径为 的圆外切，则.已知 ，, ，若圆,,两两外切，且都与圆外切，其中圆,的半径相 等，则圆 的标准方程为_ _________________. 28 解析 设圆,,,的半径分别为,,, ， 由题意可得 解得 又因为 ，即 ，解得 . 由，可知点在线段的中垂线上，即轴上，设 ，则由题意可得 解得，即圆的圆心,，半径，所以圆 的方程为 . 29 15.（本小题满分13分）[黑龙江牡丹江一中2024高二期中] （1）已知两点，，求线段 的垂直平分线的方程； 【解】已知两点，， ， 故线段的垂直平分线的斜率，由中点坐标公式求出线段的中点，故线段 的 垂直平分线的方程为，整理得 . 30 （2）求经过两条直线和的交点，且平行于直线 的 直线的方程. [答案] 根据题意，联立 解得 设经过点且平行于直线的直线的方程为 ， 把点的坐标代入，得，解得 . 故所求的直线方程为 . 31 16.（本小题满分15分）已知圆和直线 . （1）若直线与圆相交，求 的取值范围； 【解】由题知圆的圆心，半径 . 由题意得，圆心到直线的距离 ， 解得或，故的取值范围是 . 32 （2）若，是圆上一个动点，求点到直线 距离的最大值和最小值. [答案] 由（1）知当时，直线与圆相离，此时圆心到直线 的距离 ， 故圆上动点到直线距离的最大值为，最小值为 . 33 17.（本小题满分15分）[浙江宁波2024高二期中] 已知圆的圆心为，且圆 ________.在 下列所给的三个条件中任选一个，填在横线上，并完成解答. ①与直线 相切； ②与圆 相外切； ③经过直线与直线 的交点. （1）求圆 的方程. 34 【解】设圆的半径为 . 若选条件①，圆与直线 相切， 则圆心到直线的距离是圆的半径，即，所以圆 的方程为 . 若选条件②，圆与圆相外切，圆的圆心为 ，半径为2， 所以，所以，所以圆的方程为 . 若选条件③，圆经过直线与直线 的交点， 由得所以 ， 所以圆的方程为 . 35 （2）圆，是否存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2?若 存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由. 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 36 [答案] 圆的圆心为，半径为 ， 两个圆有公共弦，则，即，解得 . 由得,两圆公共弦所在直线的方程为 , 又两圆的公共弦长为2，则圆心 到公共弦所在直线的距离为 ，且，解得或 ， 又，所以 .经检验符合题意. 故存在实数，使得圆与圆 公共弦的长度为2. 37 18.（本小题满分17分）[河南焦作2024高二月考] 某湿地公园内有一直角梯形区域 ，，，.相关部门欲在， 两处各建一个 景点，将 边建成人行步道（人行步道的宽度忽略不计）. （1）若分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，且这两个圆外切，求， 两 点之间的距离. 【解】因为分别以，为圆心的两个圆都与直线相切，所以这两个圆的半径分别为 和 ，又因为两个圆外切，所以两个圆心，之间的距离为,故， 两 点之间的距离为 . 38 （2）若，今欲在人行步道（线段）上设一观景台，已知观景台在过， 两 点的圆与直线相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，问观景台 设在何处时，观赏和拍 摄的效果最佳？ 39 [答案] 以为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立平面直角 坐标系如图所示. 则，设 ， 由，得 ，解 得 . 所以， . 因为观景台在过，两点的圆与直线相切的切点处，所以设过， 两点的圆的方程为 ，已知此圆与线段切于点，则 ， 由，两点在圆上，把两点的坐标代入得 40 解得或 （舍）. 所以圆的方程为，所以切点为，即观景台应设在梯形的顶点 处.所 以观景台设在 处时，观赏和拍摄的效果最佳. 19.（本小题满分17分）[江苏扬州2024高二期初调研] 已知圆经过, , 三点． （1）求圆 的方程． 【解】设圆的方程为 ， 则解得 则圆的方程为 ． 42 （2）已知直线与圆交于，（异于点）两点，若直线,的斜率之积为2，试问直线 是 否经过定点？若经过，求出该定点的坐标；若不经过，请说明理由． 43 [答案] 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为, , ， 则，整理得 ． 又，解得，所以直线的方程为，此时 经过点 ，不符合题意． 所以直线的斜率存在，设直线的方程为,, ， 联立方程整理得 ， 则,, ． 所以 44 ，则 ， 整理得,即，解得 或 ． 当时，直线的方程为，此时直线经过点 ，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点 ． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为 ． $$