第2章 §3 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §3 §3 抛物线 2 §3 §3 综合训练 刷能力 3 1.[四川成都石室中学2024高二期中] 已知点，，直线的斜率为，直线 的斜 率为，若，则点的轨迹为不包含， 两点的( ) D A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 4 解析 设，其中,则，即 ，所以 ，所以点 的轨迹为不包含A，B两点的抛物线.故选D. 5 2.[河南安阳2023高二期中] 已知抛物线的焦点为，点在 轴正半轴上， 线段与抛物线交于点.若，且点到抛物线准线的距离为，则点 的纵坐标为 ( ) D A.1 B. C. D. 6 解析 抛物线的焦点为.由，且点在 轴正 半轴上，得 点B的横坐标为，过点B作准线的垂线，垂足为 ，如图所示,则 ，解得，所以抛物线方程为.令，解得 ，所以 ，又，所以点的纵坐标为 .故选D. 7 3.已知点,为抛物线上的两点，为坐标原点，且，则 的面积的最小值 为( ) D A.8 B.16 C.32 D.64 8 解析 设,,,.,，,解得 . ，当且仅当时，等号成立.则 的面积的最小值为64. 故选D. 9 4.如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 ,,，其中点,在抛物线上，点在轴上，则与 的面积之比 是( ) A A. B. C. D. 10 解析 由题得，准线方程为 .过点A作准线的垂线，垂 足为点，交轴于点 ，同样过点B作准线的垂线，垂足为点 ，交轴于点，故.由于 ， 故 .故选A. 11 【名师点拨】在求两个三角形面积的比值时，应注意两个三角形的公共属性，比如此题即可通过 高相等，转化为底边长的比值，为抛物线的定义转化奠定了基础. 12 5.[江苏常州2024高二期中] 某学习小组研究一种卫星接收天线 （如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截 面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经 反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径） 为，深度为 ，则该抛物线的焦点到顶点的距离为( ) A A. B. C. D. 13 解析 如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系 ，使接收 天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在 轴上． 设抛物线的标准方程为.由已知条件可得，点 在抛物线上， 所以，解得，因此该抛物线的焦点到顶点的距离为 ，故选A. 14 6.（多选）在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，点 ， 在抛物线 上，则下列结论正确的是( ) ABD A.的准线方程为 B. C. D. 15 解析 点， 在抛物线C上, 则有解得 所以抛物线，， . 选项A：抛物线C的准线方程为 ,A正确； 选项B： ,B正确； 选项C： ,C错误； 选项D：抛物线C的焦点，则 ， ，则,D正确.故选 . 16 【特别注意】注意不能运用公式求得，因为此时 不是焦点弦 （，， 不在一条直线上）. 17 7.已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则弦 的 长为___. 8 解析 由已知得抛物线的焦点为，直线的斜率 ，则 . 18 8.[山东济南历城第二中学2023高二期中] 抛物线与圆交于, 两 点，圆心，点为劣弧上不同于,的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点 ， 则 周长的取值范围是_________. 19 解析 圆，抛物线， 圆心 也是抛物线的焦点，抛物线 的准线方程为 . 如图所示，设直线与准线的交点为，根据抛物线的定义可得 ， 故的周长 . 由可得,，又圆与 轴 正半轴交于，，又， 的取值范围为 ，的周长的取值范围为 . 20 9.已知抛物线的焦点为，准线为.若位于轴上方的动点在准线上，线段 与抛物线相交于点，且，则抛物线 的标准方程为_________. 21 解析 如图所示，设，过点作于点，设准线 与 轴交于点,由抛物线的定义知，易得 ， . 在中，，则 ，从而 . 又，所以，即，所以 . 在中，，则，所以，所以抛物线 的标准方程为 . 22 $$