第1章 §2 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 圆与圆的方程 2 §2 §2 综合训练 刷能力 3 1.[陕西西安2024高二阶段检测] 直线与轴、轴分别交于点,，以线段 为直径的 圆的方程为( ) B A. B. C. D. 4 解析 由题得,.根据圆的直径式方程可以得到,以线段 为直径的圆的方程为 ，即 .故选B. 5 【多种解法】由题得,,线段的中点为，，故以线段 为直径的圆的圆心为，半径为，所以所求圆的方程为 ，展开化简 得 ，故选B. 6 2.[辽宁葫芦岛2024高二月考] 圆关于直线 对称的圆的方程为( ) C A. B. C. D. 7 解析 由题意得圆的圆心为，半径为 ， 设点关于直线对称的点为，故解得 故点关于直线对称的点为，所以所求圆的方程为 ．故选C. 8 3.[山东菏泽2024高二月考] 已知是圆上的动点，是圆的切线， ， 则点 的轨迹方程是( ) A A. B. C. D. 9 解析 因为圆，所以圆心，半径 ，由勾股定理得 ，所以，所以点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，所 以点的轨迹方程是 .故选A. 10 4.[安徽名校2023高二开学考] 在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆 的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点 .如果只有一 位同学的结论是错误的，那么这位同学是( ) D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11 解析 设,, . 假设甲错误，乙、丙、丁正确，,， ，矛 盾，所以甲正确. 假设乙错误，甲、丙、丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为， 不 满足上式，矛盾，所以乙正确. 假设丙错误，甲、乙、丁正确. 由乙、丁得，与半径为 矛盾，所以丙正确. 因此丁是错误的，甲、乙、丙都正确，则由甲、丙可知圆的方程为 ， 满足上式，符合题意. 综上所述，结论错误的同学是丁. 故选D. 12 5.[四川南充高级中学2023高二期中] 若圆 上至少有三个点到直线 的距离为，则直线 的斜率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 13 解析 圆的方程可化为，则圆心为 ， 半径为.根据题意知，只有圆心到直线的距离 时圆上至少有三个点到直线 的距离为，即,所以有 . 当时有 ，此时斜率不存在,排除; 当时有，此时圆心到直线的距离为2，又 ，不成立; 当且时，直线，则直线斜率，将①式不等号两边同时除以 得 ， 即，解得 . 综上,直线的斜率的取值范围是 .故选A. 14 6.已知点，，，动点，满足，则 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 15 解析 设，则， ， 由，可知，即.因此点在以原点 为圆心，2为半径的圆上，同 理可得点也在以原点 为圆心，2为半径的圆上. 又因为，所以当和重合，且C，，三点共线时， 取得 最值，因此， .故选B. 16 7.（多选）[黑龙江佳木斯2023高二期中] 已知实数，满足方程 ，则 下列说法正确的是( ) ABD A.的最大值为 B. 的最小值为0 C.的最大值为 D.的最大值为 17 解析 由实数，满足方程，可得点 在 圆 上，作其图象如图. 因为表示点 与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方 程为，则，解得或，所以, ，所以 ， ，A，B正确； 18 表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点 到坐标原点的距离的最大值 为，所以的最大值为，又，所以 的最大值为 ，C错误； 因为可化为，故可设 ， ，所以，所以当 ，即 ,时，取最大值，最大值为，D正确.故选 . 19 8.（多选）[江西上饶2023高二月考] 圆和圆 的交 点为， ，则( ) ABD A.公共弦所在直线的方程为 B.线段垂直平分线的方程为 C.公共弦的长为 D.两圆圆心距 20 解析 将两圆的方程相减即得到公共弦所在直线的方程为 ，故A正确； 把圆化为标准方程得，圆心，半径 ，把圆 化为标准方程得，圆心 ，半径 ，线段的垂直平分线即为圆心与圆心两点连线所在直线，方程为 ， 故B正确； 圆心到公共弦所在直线的距离，故公共弦的长为 ， 故C错误； 两圆圆心距，故D正确.故选 . 21 9.（多选）[重庆一中2024高二期中] 已知圆 ，则下列说法正确的是( ) AB A.过点作直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B.过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，，则直线必过定点 C.圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为 D.圆上有2个点到直线 的距离等于1 22 解析 因为圆的圆心为，半径 . 对于选项A,因为，可知点在圆内，可得圆心到过点 的直线的距离 ，所以 ，故A正确； 对于选项B,设，则 ，可得 ， 以为圆心，为半径的圆的方程为 ，整理得 ，由题意可知，直线为圆与圆 的公共弦所在的直线， 两圆的方程相减可得，整理得 ，令 解得所以直线必过定点 ，故B正确； 23 对于选项C,圆的圆心为，半径为，则 ，若 圆与圆C有且仅有两条公切线，则，即 ，解得 ，所以实数的取值范围为 ，故C错误； 对于选项D,因为圆心到直线的距离为，所以圆 上有4个点 到直线的距离等于1，故D错误.故选 . 10.已知直线与曲线交于点，.若，则实数 的取值范围是 ___________. ， 解析 设线段的中点为，圆心为 ，由 ,解得 .由点到直线的距离公式可得 ，解得 . 25 11.[浙江宁波2024高二期中联考] 已知，过定点的动直线 与过定点 的动直线相交于点，则 的最大值是___. 4 解析 直线的方程变形为，由得 所以动直线过定点，同理可知，动直线过定点 . 由题意可知，且为与的交点，所以 ，由勾股定理可得 ，由基本不等式可得 ，当且仅当时，等号成立，故 的最大值 为4. 26 12.如图，已知圆，，是圆上的两个动点，点 ，则矩 形的顶点 的轨迹方程是_____________. 27 解析 如图，设点，则矩形的中心为，，由, 为的中点，得， ，即 ，即 . 28 13.[湖北黄冈2024高二期中] 古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千多年 前我国的墨子（约公元前 公元前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是 说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在从以点 为圆心，2为半径的圆上取任意一 点，若的值与,无关，则实数 的取值范围是___________. 29 解析 由已知可得点所在圆的方程为 ， 设 ， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的值与,无关，所以这个距离之和与点 在圆上的位置无关. 圆心到直线的距离为，所以圆与直线 相离，如图所示， 可知直线平移时，点与直线,的距离之和均为直线, 之间的距离， 此时可得圆在两直线之间，当直线与圆 相切时，有 ，解得（舍去）或，所以，即实数 的 取值范围为 . 30 【名师点拨】本题解题的关键是将所求代数式转化为点到直线 与直线 距离之和的5倍. 31 14.[江苏镇江2024高二期中] 已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线 与 圆 相切． （1）求圆 的方程； 【解】设圆心坐标为，则有，解得或 （舍去），所以圆 的方程为 ． 32 （2）若过点的直线与圆交于两点，，且，为坐标原点，求直线 的方程． [答案] 设，，易知直线的斜率存在，则可设直线 ， 联立得 ， ，解得 ， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，解得或 （舍去）， 所以直线的方程为 ． 33 15.如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在 上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆 的切线，求切线的方程； 34 【解】由 得则圆心.又圆的半径为1， 圆 的方程为 . 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即 . ， ， ，或 . 所求圆的切线方程为或，即或 . 35 （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标 的取值范围. [答案] 设，则由，得，即 ， 故点的轨迹方程为，记为圆 . 根据题意只要保证圆与圆 有公共点即可. 设，则，即，解得. 圆心 的横坐 标的取值范围为, . 36 【名师点拨】本题第一问综合考查了直线与圆相切，应优先考虑利用几何方法求解，以避免比较 烦琐的联立方程的代数方法.第二问是阿波罗尼斯圆的一个应用，由条件，可知点 在阿波罗尼斯圆上，又因为点 在另外一个圆上，可知两圆具有公共点，从而转化为圆与圆的位 置关系进行处理. 37 16.[THUSSAT中学生标准学术能力测试2024高三9月测试] 已知中，，角 的平分 线交于点，若，则 面积的最大值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 38 解析 在中,，在中,，故 ， ， 因为，所以 ，又角A的平分线交 于点D，则，因此,故 . 39 以D为坐标原点，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因 为 ，，所以，，设，则 ， 即 ， 化简可得，即，故点的轨迹是以 为圆心，2为半 径的圆（除去点, ）. 故当点A的纵坐标的绝对值最大，即时, 的面积取得最大值，最大值为 .故选C. 40 17.[中国科学技术大学2023强基计划] 二元函数 的值域 为_ ____________. 解析 由题意可知二元函数的几何意义为单位圆上一点到直线 上一点距离的平方,易知,则, . 41 $$