第1章 §1 综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 直线与直线的方程 2 §1 §1 综合训练 刷能力 3 1.若直线过点 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4 解析 设直线的截距式方程为 . 直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，， ，解得 或 或 满足题意的直线的条数为3. 5 2.[福建漳州2024高二月考] 已知点，．若直线 与线段 相交，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 6 解析 如图所示. 设直线过定点，直线 可变形为 ，令解得故直线必过定点 ．又 ,,所以直线的斜率，直线 的斜率 ． 已知直线与线段相交，结合图象知，或，解得 或，则实数的取值范围是 ．故选A. 7 3.[河南濮阳一高2024高二月考] 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形 的外心、重心、垂心在同一条直线上,这条直线被称为欧拉线．已知的顶点 ， ，，若直线与的欧拉线平行，则实数 的值为( ) C A. B. C. D.3 8 解析 如图所示.由的顶点,,知, 的重心为 ,，即.因为,所以三角形 为直角三角形,所以 外心为斜边的中点,即,所以可得 的欧拉线方程为 ,即 . 因为与平行,所以,解得 .故选C. 9 4.（多选）直线,的方程分别为， ，它们在坐 标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) BC A., B., C. D. 10 解析 直线,对应的斜率,存在，则直线方程可化为， ， ，.又， ，C正确，D错误； 又，，A错误，B正确.故选 . 11 5.（多选）[江西名校联盟2023高二期中联考] “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基 所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任 意两点,的曼哈顿距离 ，则下列结论正确的是 ( ) ACD A.若点,，则 B.若点,，则在轴上存在点，使得 C.若点，点在直线上，则 的最小值是3 D.若点在上，点在直线上，则 的值可能是4 12 解析 对于A选项，由曼哈顿距离的定义可知 ，则A正确. 对于B选项，设，则 从而 ，故B错误. 13 对于C选项，作直线轴，交直线于，过 作 ，垂足为 ，如图所示. 由曼哈顿距离的定义可知 . 当不与重合时，因为直线的斜率为 ，所以 ，所以 ； 当与重合时， . 综上， ，则 .故C正确. 14 对于D选项，若,，则，故D正确.故选 . 15 6. 已知直线,,点,则过点的直线与, 所围三角 形面积的最小值为___. 16 解析 由解得所以直线与交于点 ,且两直 线关于直线对称，点在直线上，设直线与,的交点分别为, . 当点为的中点时,最小.由对称性，可知当直线垂直于直线 时， 点为的中点，此时直线，故,,， , , . 17 【链接教材】本题是教材第26页B组第6题的延伸，综合考查直线中的对称、垂直问题，以及分 析面积取得最值时的情况. 此题用到一个结论： 已知点在直线与的对称直线上（非三线交点），则过点有一条直线,当它夹在相交直线 与 之间的线段恰好被点平分时，三条直线,, 所围成的三角形面积最小. 18 证明：假设直线垂直于直线,的对称直线,与直线, 的交点分别 为,.直线不垂直于直线，与,的交点分别为,.作 于点，作于点 ，如图所示. 19 . 由,知 , 易知,所以 . , , 因为,,所以 ,所以 . 所以当点为直线被直线,所截线段的中点时， 最小. 20 7.[山东日照2023高二期中校际联考] 已知直线和直线的交点为 . （1）求过点且与直线 平行的直线方程； 【解】联立解得即交点 . 设与直线平行的直线方程为 . 把的坐标代入可得，可得， 所求直线方程为 . 21 （2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线 的方程. [答案] 设与直线垂直的直线的方程为 ， 到的距离为，解得或 ， 直线的方程为或 . 22 8.[清华大学2021领军计划] 已知二元函数 的最小值为 ，则 ____. 80 23 解析 . 设点，， . 则 ，这是经典的将军饮马问题， 点关于直线与轴的对称点分别为与 ， 可得，故 . $$