2.2～2.3节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2.3 2.3 圆与圆的位置关系 2 2.3 第2.2，2.3节综合训练 刷能力 3 高中必刷题 主讲老师 1.[江苏宿迁2023高二期中] 已知圆与圆相外切，则 的值为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 5 解析 由圆可得 ， 则，所以，所以圆的圆心为 ，半径为 . 圆的圆心为，半径为1.由圆与圆 相外 切，得，解得 .故选A. 6 高中必刷题 主讲老师 2.已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和 ， 则四边形 的面积为( ) B A. B. C. D. 8 解析 根据题意，圆的方程可化为，其圆心为 ，半径为5，所以该 圆过点的最长弦为直径，则，最短弦 ，所以 .故选B. 9 高中必刷题 主讲老师 3.[四川南充高级中学2023高二期中] 若圆 上至少有三个点到直线 的距离为，则直线 的斜率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 11 解析 圆的方程可化为，则圆心为 ， 半径为.根据题意知，只有圆心到直线的距离 时圆上至少有三个点到直线 的距离为，即,所以有 . 当时有 ，此时斜率不存在,排除; 当时有，此时圆心到直线的距离为2，又 ，不成立; 当且时，直线，则直线斜率，将①式不等号两边同时除以 得 ， 即，解得 . 综上,直线的斜率的取值范围是 .故选A. 12 高中必刷题 主讲老师 4.（多选）[广东佛山2024高二月考] 在平面直角坐标系中，已知点, ，圆 ．若圆上存在点，使得，则实数 的值可以是( ) BC A. B.0 C.2 D.4 14 解析 设，由,得 ，整理得 ，所以点的轨迹是以为圆心，半径 的圆.圆 的圆心为，半径，由于点 存在，两圆有公共点，所以 ，即,，其中 恒 成立，由得,，则 ,解得 ，所以实数的值可以是B,C选项,故选 . 15 高中必刷题 主讲老师 5.（多选）[重庆一中2024高二期中] 已知圆 ，则下列说法正确的是( ) AB A.过点作直线与圆交于，两点，则的取值范围为 B.过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，，则直线必过定点 C.圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为 D.圆上有2个点到直线 的距离等于1 17 解析 因为圆的圆心为，半径 . 对于选项A,因为，可知点在圆内，可得圆心到过点 的直线的距离 ，所以 ，故A正确； 对于选项B,设，则 ，可得 ， 以为圆心，为半径的圆的方程为 ，整理得 ，由题意可知，直线为圆与圆 的公共弦所在的直线， 两圆的方程相减可得，整理得 ，令 解得所以直线必过定点 ，故B正确； 18 对于选项C,圆的圆心为，半径为，则 ，若 圆与圆C有且仅有两条公切线，则，即 ，解得 ，所以实数的取值范围为 ，故C错误； 对于选项D,因为圆心到直线的距离为，所以圆 上有4个点 到直线的距离等于1，故D错误.故选 . 高中必刷题 主讲老师 6.如果实数，满足等式，那么 的最大值是__________； 的最大值是_________. 21 解析 由，得， 的几何 意义为圆上的动点到原点距离的平方.因为圆心 到 原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为，则 的 最大值是 . 令,则是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，直线在 轴 上的截距，一个是最大值，一个是最小值，此时,圆心到直线 的距离 ,解得,所以的最大值为 . 22 高中必刷题 主讲老师 7.[湖北黄冈2024高二期中] 古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念.一直到两千多年 前我国的墨子（约公元前 公元前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是 说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在从以点 为圆心，2为半径的圆上取任意一 点，若的值与,无关，则实数 的取值范围是___________. 24 解析 由已知可得点所在圆的方程为 ， 设 ， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的值与,无关，所以这个距离之和与点 在圆上的位置无关. 圆心到直线的距离为，所以圆与直线 相离，如图所示， 可知直线平移时，点与直线,的距离之和均为直线, 之间的距离， 此时可得圆在两直线之间，当直线与圆 相切时，有 ，解得（舍去）或，所以，即实数 的 取值范围为 . 25 【名师点拨】本题解题的关键是将所求代数式转化为点到直线 与直线 距离之和的5倍. 26 高中必刷题 主讲老师 8.[江苏镇江2024高二期中] 已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线 与圆 相切． （1）求圆 的方程； 【解】设圆心坐标为，则有，解得或 （舍去）， 所以圆的方程为 ． 28 （2）若过点的直线与圆交于两点，，且，为坐标原点，求直线 的方程． [答案] 设，，易知直线的斜率存在，则可设直线 ， 联立得 ， ，解得 ， 所以， ， 所以 ， 因为，所以 ， 解得或 （舍去）， 所以直线的方程为 ． 29 高中必刷题 主讲老师 9.[THUSSAT中学生标准学术能力测试2024高三9月测试] 已知中，，角 的平分线 交于点，若，则 面积的最大值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 31 解析 在中,，在中,，故 ， ， 因为 ， 所以 ， 又角A的平分线交于点D，则，因此,故 . 32 以D为坐标原点，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因 为 ，，所以，，设，则 ， 即 ， 化简可得，即，故点的轨迹是以 为圆心，2为半 径的圆（除去点, ）. 故当点A的纵坐标的绝对值最大，即时, 的面积取得最大值，最大值为 .故选C. 33 高中必刷题 主讲老师 10.[中国科学技术大学2023强基计划] 二元函数 的值域 为_ ____________. 35 解析 由题意可知二元函数的几何意义为单位圆上一点到直线 上一点 距离的平方,易知 , 则 . 36 $$