2.2 直线与圆的位置关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 2.2 2.2 直线与圆的位置关系 刷基础 2 高中必刷题 主讲老师 1.直线与圆 的位置关系为( ) B A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 4 解析 圆心到直线的距离.因为 ,所以直线与圆相交但直线不过 圆心,故选B. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 5 高中必刷题 主讲老师 2.[山西太原2024高二期中] 已知直线，圆，则直线 与圆 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 7 解析 已知直线，变形整理得 ， 由得即直线恒过定点，代入圆C的方程的左端有 ， 即点在圆内，所以直线 与圆C相交.故选A. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 8 高中必刷题 主讲老师 3.[山东烟台2023高二期中] 若直线与圆相离，则过点 的直 线与圆 的位置关系是( ) C A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 10 解析 因为直线与圆相离，所以圆心到直线 的 距离大于半径，即，所以.故点在圆内，所以过点 的直线与圆 C相交，故选C. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 11 高中必刷题 主讲老师 4.（多选）[辽宁鞍山一中2023高二期中] 已知圆，点 ，则下列说法正确 的有( ) AB A.若点在圆上，则圆在点处的切线方程为 B.若点在圆外，则直线与圆 相交 C.若点在圆内，则直线与圆 相交 D.若点在圆外，则直线与圆 位置关系不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 13 解析 对A，点在圆上，则，因为点的坐标满足 ，故直线 过点.又点到直线的距离 ，故直线 与圆相切.综上所述，若点在圆上，则圆在点 处的切线方程为 ，A正确. 对B，D，点在圆外，则，又点到直线的距离 ，故 直线与圆 相交，所以B正确，D错误. 对C，点在圆内，则，又点到直线的距离 ，故直 线与圆 相离，C错误. 故选 . 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 14 高中必刷题 主讲老师 5.[陕西长安一中2023高二期中] 已知直线是圆 的对 称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 等于( ) B A.2 B.5 C. D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 16 解析 圆即 ，圆心坐标为 ，半径 . 由题意可知直线经过圆心，则，解得 ， 点A的坐标为 ，作示意图如图所示. ,，切点为B，则，所以 . 故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 17 高中必刷题 主讲老师 6.[湖南长沙2024高二期中] 过点的直线与圆相切，则直线 的方 程为( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型2 直线与圆相切的有关问题 19 解析 圆化为标准方程得，则圆心为 ， 半径为2. 当直线的斜率不存在时，直线 ， 此时直线与圆 相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 圆心到直线的距离，由相切得，所以，解得 ， 得直线方程为.综上，直线的方程为或 ．故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 20 高中必刷题 主讲老师 7.过点总可以作两条直线与圆相切，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 22 解析 把圆的方程化为标准方程得由 ，解得 .由题意得点 应在已知圆的外部， 把点的坐标代入圆的方程得，即 ，解得 或 . 综上所述，实数的取值范围是 .故选D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 23 高中必刷题 主讲老师 8.（多选）[江苏宿迁2024高二月考] 已知圆，过直线上一点 作圆 的两条切线，切点分别为, ，则( ) ABC A.若点，则直线的方程为 B.四边形面积的最小值为 C.线段长度的最小值为 D.点始终在以线段 为直径的圆上 题型2 直线与圆相切的有关问题 25 解析 对于A，点，连接,，,则, ， 故A,B在以为直径的圆上，而,则以 为直径的圆的方程为 ，将方程和 相减得 ，即直线的方程为 ，A正确； 对于B，由题意知，则四边形的面积 ， 而的最小值即为原点到直线的距离，故四边形 的面积 的最小值为 ，B正确； 对于C，设，则以为直径的圆的方程为，与 相减， 即得直线的方程为，又 ，故 题型2 直线与圆相切的有关问题 26 ，即，令得，即直线 过定点 ，设为，则，当时，最小，最小值为 ，C正确； 对于D，在四边形中，不一定是直角，故点不一定在以线段 为直径的圆上，D错 误.故选 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 高中必刷题 主讲老师 9.直线与直线是圆的两条切线，则圆 的面积是_____. 解析 易知直线与直线平行，若两条平行直线是圆 的两条切线， 则两直线之间的距离为圆的直径.直线，即，与直线 间的距离 ，则圆的半径，则圆的面积 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 29 高中必刷题 主讲老师 10.[江西新余六中2024高二统考] 过三点，，的圆交轴于， 两点，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 31 解析 由，，可知，直线与轴平行，直线与轴平行，所以 ， 即圆为直角三角形的外接圆，所以圆心坐标为的中点，即圆心为 ，故半 径 ，由圆中弦长、弦心距、半径的关系可得 .故选D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 32 高中必刷题 主讲老师 11.[陕西西安长安区一中2024高二期中] 已知直线交圆于， 两 点，则为坐标原点 的面积为( ) B A. B. C.49 D.98 题型3 直线与圆相交的有关问题 34 解析 由题意，圆，可得圆心，则圆心到直线 的距离 ，所以 ，所以 .故选B. 题型3 直线与圆相交的有关问题 35 高中必刷题 主讲老师 12.[湖北武汉部分重点中学2024高二期中联考] 已知圆 ，直线 与圆相交于，两点，则 的最小值为( ) A A. B.2 C.4 D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 37 解析 由圆C的方程可得圆心，半径，直线 的方程可整理为 , 令解得所以直线恒过定点 . 由题意知，当与垂直时，弦长最小，又， ， 所以此时，直线 ， 点C到直线的距离，所以 .故选A. 题型3 直线与圆相交的有关问题 38 高中必刷题 主讲老师 13.[北京第十五中学2024高二期中] 已知直线与曲线 有两个公共点， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 40 解析 由可得，所以曲线 为半圆， 又由直线可得，直线恒过定点，记 .当直线 与半圆 相切时，圆心到直线的距离为 ，解得，又,如图所示，当 时，直线 与曲线 有两个公共点.故选A. 题型3 直线与圆相交的有关问题 41 高中必刷题 主讲老师 14.当直线被圆 截得 的弦最短时，实数 的值为____. 解析 直线，即 ， 圆的圆心,半径为5.由解得故直线 经过 定点.要使直线被圆截得的弦长最短，须使直线与直线垂直，易知直线 的斜率存在 且不为0，所以此时直线的斜率存在，故有，即，解得 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 43 高中必刷题 主讲老师 15.[吉林东北师大附中2023高二期末] 已知圆，直线 . （1）写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆 的位置关系； 【解】可整理得 ， 故圆的圆心坐标为，半径为 . 可变形为，故直线过定点 . 因为，故点在圆内，所以直线与圆 相交. 题型3 直线与圆相交的有关问题 45 （2）若直线与圆交于不同的两点,，且，求直线 的方程. [答案] 圆心到的距离 ， 所以，解得 ， 故直线的方程为或 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 46 高中必刷题 主讲老师 16.[北京顺义区2024高二期中] 如图，已知一艘停在海面上的海监船 上配有 雷达，其监测范围是半径为 的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东 的处出发，径直驶向位于海监船正北的 处岛屿，速度为 ,则这艘轮船能被海监船监测到的时长为( ) C A. B. C. D. 题型4 直线与圆的方程的应用 48 解析 如图，以为坐标原点，东西方向为 轴建立如图所示的平面直角坐标 系,连接 . 则，，圆方程为 ， 直线的方程为，即 . 设点到直线的距离为，则 ，所以该艘轮船能被海 监船监测到.设监测到的时长为，则 ，因此该艘轮船能被海监船监测到的时 长是 .故选C. 题型4 直线与圆的方程的应用 49 高中必刷题 主讲老师 17.[四川绵阳南山中学2023高二期中] 如图，某海面上有，， 三个小岛 （面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东 方向距岛千米处， 岛在 岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为 轴的正方向， 1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过，， 三点. （1）求圆 的标准方程. 题型4 直线与圆的方程的应用 51 【解】由题图可知，， ， 设过，，三点的圆的方程为 ， 得 解得 所以圆的方程为，标准方程为 . 题型4 直线与圆的方程的应用 52 （2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西 方向距 岛40千米处，正沿着北 偏东 方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ [答案] 圆的圆心为，半径 . 该船初始位置为点，则 ， 且该船航线所在直线的斜率为 , 故该船航行路线在直线 上. 由于圆心到直线的距离 ， 故该船没有触礁的危险. 题型4 直线与圆的方程的应用 53 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 主讲老师 18.已知圆的方程为 ． （1）求过点且与圆相切的直线 的方程； 【解】根据题意，得点在圆 外，分两种情况讨论： 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆 相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得 ， 此时，直线的方程为 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 55 （2）直线过点，且与圆交于,两点，若，求直线 的方程. [答案] 根据题意，若，则圆心到直线的距离 ，结合（1）知 直线 的斜率一定存在. 设直线的方程为，即，则，解得 或 .所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 56 【易错警示】求过某点的圆的切线问题时，应先确定该点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在 圆内,则过该点的切线不存在;若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的 切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况. 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 57 $$