1.4～1.5节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (苏教版2019)

数学 选择性必修 第一册 SJ 1 1.5 1.5 平面上的距离 2 1.5 第1.4，1.5节综合训练 刷能力 3 高中必刷题 主讲老师 1.[江苏镇江2023高二期中] 已知直线，点，，点为直线 上一动点， 则 的面积为( ) A A.1 B. C.2 D. 5 解析 直线的方程为，所以，所以边上的高为两平行线之间的距离，记为 ， 因为 ，，所以 .故选A. 6 高中必刷题 主讲老师 2.[福建师范大学附属中学2024高二期中] 不论实数 取何值时，直线 都过定点，则直线关于点 对称的直线方程为 ( ) D A. B. C. D. 8 解析 由可得 ， 令解得所以 . 设直线关于点对称的直线方程为，则到直线 与 的距离相等，所以，解得（两直线重合，舍去）或 . 故直线关于点对称的直线方程为 .故选D. 9 【多种解法】用上述解法求出点，设直线关于点 对称的直线方程为 . 在直线上任取一点，如点.设点关于点对称的点的坐标为 ，则有 解得所以点在直线上，则,解得 ，所 以所求直线方程为 . 10 【规律方法】若两直线关于点对称，则两直线平行，且点到这两条直线的距离相等，可以列式求 出方程中的参数；也可以先任取直线上一点，得到点关于对称点对称的点的坐标，然后代入所求 直线的方程中，解出参数. 11 高中必刷题 主讲老师 3.直线和直线的交点在轴上，则实数 的值为( ) A A. B.24 C.6 D. 13 解析 直线和直线的交点在轴上，可设交点坐标为 ， 故选A. 14 高中必刷题 主讲老师 4.若，满足，则 的最小值为( ) B A.2 B. C.3 D.4 16 解析 原多项式可化为，其几何意义为点和点 间距离的平方.已知 点在直线上，设为点到直线的距离，由 ,得 ,即，当且仅当 垂直于直线 时取等号.故所求的最小值为 . 17 高中必刷题 主讲老师 5.[辽宁沈阳2024高二月考] 设，过定点的动直线和过定点 的动直线 交于点，则 的最大值为( ) B A. B.6 C. D.12 19 【思路导引】根据直线方程求出定点,的坐标，对 进行分类讨论，利用直线垂直的条件可证 两直线垂直，从而求得 的最大值. 20 解析 对直线，当时,，则直线过定点 . 对直线，即,当时, ，则直线 过定点 . 当时，如图①，直线，直线，则交点，此时 ， ， . 图① 21 图② 当时，如图②，直线的斜率，直线的斜率 . ，，则 是直角三角形， ， 又，且 ， ，当且仅当,即 时等号成立, . 的最大值为6.故选B. 22 高中必刷题 主讲老师 6.（多选）[广东揭阳2024高二月考] 已知直线 和直线 ，则下列说法正确的是( ) ACD A.当时， B.当时， C.直线过定点 D.当直线,平行时，两直线间的距离为 24 解析 对于A，当时，直线，直线 ，此时两直线的 斜率分别为和，所以，所以 ，故A选项正确. 对于B，当时，直线，直线 ，此时两直线重合，故B选项 错误. 对于C，由直线，整理可得，故直线过定点 ，故C 选项正确. 对于D，当直线,平行时，，解得或 ， 当时，两直线重合，舍去；当时，直线的方程为, 的方程为 ， 此时两直线间的距离，故D选项正确.故选 . 25 高中必刷题 主讲老师 7.[北京第八中学2024高二期中] 已知，，点在直线 上，若使 取最小值，则点 的坐标是__________. 解析 如图所示.因为点关于直线的对称点为 ，所以 .当点,,三点共线时取等号.又 ， 则直线的方程为，即 . 联立解得所以使取最小值的点的坐标是 . 27 高中必刷题 主讲老师 8. 已知直线,,点,则过点的直线与, 所围三角 形面积的最小值为___. 解析 由解得所以直线与交于点 ,且两 直线关于直线对称，点在直线上，设直线与,的交点分别为 , .当点为的中点时,最小.由对称性，可知当直线垂直于直线 时， 点为的中点，此时直线，故,， , , . 29 【链接教材】本题是教材第42页第14题的延伸，综合考查直线中的对称、垂直问题，以及分析 面积取得最值时的情况. 此题用到一个结论： 已知点在直线与的对称直线上（非三线交点），则过点有一条直线,当它夹在相交直线 与 之间的线段恰好被点平分时，三条直线,, 所围成的三角形面积最小. 证明：假设直线垂直于直线,的对称直线为,与直线,的交点分别为,.直线 不垂直于直 线，与,的交点分别为, . 30 作于点，作于点 ，如图所示. . 由,知 , 易知,所以 . , ,因为, ,所以 ,所以 . 所以当点为直线被直线,所截线段的中点时， 最小. 31 高中必刷题 主讲老师 9.正方形的两个顶点，在直线上，另两个顶点， 分别在直线 ，上，那么正方形 的边长为____________. 或 33 解析 因为，所以可设直线的方程为 . 联立解得 则 . 联立解得 则 . 34 . 又直线与的距离 ， ，解得或 ， 正方形的边长为或 . 高中必刷题 主讲老师 10.定义点到直线的有向距离.已知点, 到直线的有向距离分别是, ，给出以下命题： ①若，则直线与直线 平行； ②若，则直线与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直； ④若，则直线与直线 相交. 其中真命题的个数是___. 1 37 解析 设点,的坐标分别为,，则,.若 , 则，即,所以.若 ，即 ，则点,都在直线上，此时直线与直线 重合，故① ②③均为假命题.当时，,在直线的两侧，则直线与直线 相交，故④为真命题.故 真命题的个数为1. 38 高中必刷题 主讲老师 11.[湖北武汉华师一附中2024高二期中] 已知的顶点，边上的高线 所在的直 线方程为，边上的中线所在的直线方程为 ． （1）求点 的坐标； 【解】由边上的高线所在的直线方程为，得直线 的斜 率为1，又 , 所以直线的方程为，即 . 由解得所以点的坐标是 . 40 （2）求直线 的方程． [答案] 由点在直线上，可设点，于是边的中点 在直 线 上， 因此，解得，即得点，所以直线 的斜率 ， 所以直线的方程为，即 . 41 $$