第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §4 §4 直线与圆锥曲线的位置关系 2 §4 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 刷基础 3 1.过点作斜率为的直线，与抛物线交于，两点，则弦 的长为( ) B A. B. C. D. 题型1 弦长问题 4 解析 设A,B两点的坐标分别为,,由直线的斜率为,且过点得直线 的方 程为,与抛物线方程联立得,整理得 ,则 ,,所以 . 题型1 弦长问题 5 2.椭圆被直线 截得的弦长为_____. 解析 由消去并化简得， . 设直线与椭圆的交点为,,则, . 弦长 . 题型1 弦长问题 6 3.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得弦长为 ，则抛物线方程为 ____________________. 或 解析 设所求抛物线方程为,已知直线方程变形为 ,设抛物线与直线交点 为,,联立消去得,整理得 .由 一元二次方程根与系数的关系得, ，所以 ,解得或,所以所求抛物线方程为 或 题型1 弦长问题 7 4.[北京第八十中学2023高二适应性考试] 已知椭圆的离心率为 ，左、 右顶点分别为， . （1）求椭圆 的方程； 【解】由题意可知,，所以，，所以椭圆 的方程为 . 题型1 弦长问题 8 （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，（异于， 两点），直线 ，分别交直线于，两点，当时，求 的值. 题型1 弦长问题 9 [答案] 设直线的方程为，联立直线 与椭圆的方程 . 设,，则, . 因为直线的方程为，令，得，所以, . 因为直线的方程为，令，得，所以, . 因此，即 ， 化简得 ， 将,代入得 ，所以 ，所以，化简得，进而得 . 题型1 弦长问题 10 5.[福建泉州四校2024高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，离 心率为，点在椭圆上，且满足轴， ． （1）求椭圆的方程； 【解】由已知得，又由，可得， ， 所以椭圆的方程为 . 由椭圆的对称性，不妨设点在第一象限，又 轴， 所以点的坐标为 ， 由，解得，所以, , 所以椭圆的方程为 . 题型1 弦长问题 11 （2）若直线交椭圆于，两点，求（ 为坐标原点）面积的最大值． 题型1 弦长问题 12 [答案] 设， . 将 代入椭圆方程中， 可得 ， 由，即，可得 ，① 则, , 所以 . 因为直线与轴的交点坐标为，所以 的面积 . 令，由①知，可得 ， 当且仅当,即，也即 时等号成立. 所以当时，的面积取得最大值,最大值为 ． 题型1 弦长问题 13 【归纳总结】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立, 消元、化简整理成一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. 题型1 弦长问题 14 6.[吉林长春六中2024高二期中] 过点的直线与双曲线相交于,两点.若 是线 段的中点，则直线 的方程是( ) A A. B. C. D. 题型2 中点弦问题 15 解析 设,，则两式相减得直线的斜率为 . 又直线过点，所以直线的方程为,即，经检验此时直线 与双曲线有两个交点.故选A. 题型2 中点弦问题 16 7.[浙江绍兴2024高二期中] 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于， 两点.若，则线段的中点到直线 的距离为( ) B A.2 B.4 C.8 D.16 题型2 中点弦问题 17 解析 如图，抛物线的焦点为，准线为直线，即 . 过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有 .过的中点作准线的垂线，垂足为 ， 则为直角梯形的中位线，则，即点 到准线 的距离为4.故选B. 题型2 中点弦问题 18 8.（多选）已知椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于， 两点，为线段 的中点，则下列结论正确的是( ) BD A.直线与垂直 B.若点，则直线方程为 C.若直线方程为，则点, D.若直线方程为，则 题型2 中点弦问题 19 解析 设，，， ， 由题意得，，两式相减可得 ，所以 .因为，，所以,所以 ，故A错误. 因为，，所以，则直线方程为 ，即 ，故B正确. 由可得，所以，则中点， ，故C错误. 由可得，解得，，则 ， 故D正确.故选 . 题型2 中点弦问题 20 9.若抛物线的弦被点 平分，则此弦所在直线的斜率为___. 1 解析 设过点的弦的端点为， . 由题意可得直线的斜率存在，则两式作差可得 ，因 此直线的斜率为 . 题型2 中点弦问题 21 10.[辽宁大连八中2024高二期中] 已知椭圆，斜率为的直线 交椭圆 于，两点.若的中点坐标为，试写出椭圆 的一个标准方程 _________________________. （答案不唯一） 题型2 中点弦问题 22 解析 设点， ， 则两个等式作差得，整理可得 . 因为线段的中点为，可得 ， 又,，所以，所以，此时椭圆 的方程为 . 又的中点为，所以点需在椭圆的内部，所以,解得 ,故可 取 题型2 中点弦问题 23 此时椭圆的方程为 . 故椭圆的一个标准方程为 ,答案不唯一. 题型2 中点弦问题 【规律方法】椭圆 的弦与“中心线”（弦中点与中心连线）的斜率之积为 . 椭圆上的点与过中心弦的端点的连线斜率之积为 . 题型2 中点弦问题 25 11.[浙江多校2023高二期中联考] 已知双曲线经过点 ， 焦点到渐近线的距离为 . （1）求双曲线 的方程； 【解】不妨设焦点，其到渐近线的距离 . 因为双曲线经过点，所以，解得 ，所以 双曲线的方程为 . 题型2 中点弦问题 26 （2）若直线与双曲线相交于，两点，是弦的中点，求 的长度. [答案] 设点，，因为是弦 的中点， 所以由 得 ， 所以 ， 题型2 中点弦问题 27 从而直线的方程为，即 . 联立得，所以, ，从而 . 题型2 中点弦问题 28 【规律方法】解圆锥曲线的中点弦问题的常见方法 方法一:联立消元法.设出直线方程，并与圆锥曲线的方程联立,消去（或得关于（或 的一元 二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率，进而 可写出直线方程. 方法二：点差法.设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为， ,将这两点坐标 代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与斜率和弦 的中点坐标 有关的式子,求出斜率，再由点斜式写出直线方程.这种方法可以大大减少运算量， 我们称这种代点作差的方法为“点差法” 题型2 中点弦问题 29 12.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，（点在轴下方），点与点 关 于轴对称.若直线的斜率为1，则直线 的斜率为( ) C A. B. C. D. 题型3 对称问题 30 解析 设,, . 抛物线的焦点 , 则可得直线的方程为 , 联立得， . 则有, , 直线的斜率,故直线的斜率为 .故选C. 题型3 对称问题 31 13.在抛物线上存在两个点，关于直线对称，则实数 的取值范围为 _________________________. ，， 解析 设,关于直线对称,,,即 .设线 段的中点为,则, . 中点在内, , 解得或 . 题型3 对称问题 32 【名师点拨】易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内,若忽略条件“中点在抛物线内部”, 则难以求解. 题型3 对称问题 33 14.已知椭圆的离心率,点 在该椭圆上. （1）求椭圆 的方程; 【解】由题意知,即, .① 将点的坐标代入椭圆的方程,可得 ,② 由①②可得, . 椭圆的方程为 . 题型3 对称问题 34 （2）若,是椭圆上关于直线对称的两点,求实数 的取值范围. [答案] 设,是椭圆上关于直线对称的两点,且弦 的中点 为 . 由题意可知直线的斜率 ， 又直线恒过定点 , 则 . 点,在椭圆上,, , , 化简可得,即 . . 题型3 对称问题 35 又 线段的中点在 上, , . 由得 . 或,解得或,即实数 的取值范围是 . 题型3 对称问题 $$