第2章 3.1 抛物线及其标准方程-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §3 §3 抛物线 2 §3 3.1 抛物线及其标准方程 刷基础 3 1.已知动圆经过点，且与直线相切，则动圆圆心 的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 题型1 抛物线的定义 4 解析 设动点，圆与直线的切点为 ， 则，即动点到定点A和定直线 的距离相等, 点的轨迹是抛物线，且以 为焦点， 以直线为准线，故动圆圆心的轨迹方程是 .故选A. 题型1 抛物线的定义 5 2.[四川成都石室中学2024高二期中] 已知是抛物线的焦点，为抛物线 上一点．若 ，则点 的横坐标为( ) C A.12 B.16 C.18 D.19 题型1 抛物线的定义 6 解析 由抛物线，可得，所以准线方程为 . 如图所示，设点,其中 ， 过点作 ，垂足为A， 由抛物线的定义得 ， 所以，解得 ， 即点 的横坐标为18. 故选C. 题型1 抛物线的定义 7 3.以 轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是( ) C A. B. C.或 D.或 题型1 抛物线的定义 8 解析 依题意设抛物线方程为.因为焦点到准线的距离为4，所以 ，所以 ，所以抛物线方程为或 .故选C. 题型1 抛物线的定义 9 4.动圆与定圆相外切，且与直线相切，则动圆的圆心 满足的 方程为( ) B A. B. C. D. 题型1 抛物线的定义 10 解析 由题知，设动圆的半径为，圆心到直线的距离为 ,则根据两圆相外切及直线 与圆相切可得，，，即 ，化简得 动圆的圆心满足的方程为 .故选B. 题型1 抛物线的定义 11 5.[重庆西南大学附属中学2023高二月考] 顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是 ( ) D A. B. C.或 D.或 题型2 抛物线标准方程的理解 12 解析 点在第二象限.当焦点在轴上时，可设抛物线的标准方程为 ，把 的坐标代入解得，所以抛物线的标准方程为 . 当焦点在轴上时，可设抛物线的标准方程为，把的坐标代入解得 ， 所以抛物线的标准方程为 . 故选D. 题型2 抛物线标准方程的理解 13 【规律方法】抛物线的标准方程： ，当时，为开口向右的抛物线；当 时，为开口向左的抛物线. ，当时，为开口向上的抛物线；当 时，为开口向下的抛物线. 题型2 抛物线标准方程的理解 14 6.[安徽合肥一中2024高二月考] 抛物线 的焦点坐标是( ) D A. B. C. D. 题型2 抛物线标准方程的理解 15 解析 抛物线的标准方程为，所以焦点在 轴正半轴. 由得,则，所以焦点坐标为 .故选D. 题型2 抛物线标准方程的理解 16 7.[河南南阳2024高二月考] 抛物线上一点 到其准线的距离为( ) B A. B. C. D. 题型3 抛物线定义的应用之距离转化 17 解析 把点的坐标代入抛物线方程，解得，所以抛物线的方程为 ，即 ，抛物线的准线的方程为，所以点到抛物线准线的距离为 . 故选B. 题型3 抛物线定义的应用之距离转化 18 8.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为 .若 ，则 ( ) D A.2 B. C. D.4 题型3 抛物线定义的应用之距离转化 19 解析 由题知，准线，设准线与轴的交点为C，点 在D上，则由 抛物线的定义及已知得，则 为等边三角形，如图所示. 方法一：因为,轴，所以直线的斜率 ，所以直线 ，由解得或 （舍去）， 所以 .故选D. 方法二：在中，,，则 .故选D. 方法三：过作于点B，则B为的中点，因为，所以 .故选D. 题型3 抛物线定义的应用之距离转化 20 9.已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点 ，与其准 线相交于点.若，则 ( ) C A. B. C.2 D.4 题型3 抛物线定义的应用之距离转化 21 解析 如图,,,过点作准线的垂线，垂足为，则 ,又 ,所以,则,即直线的斜率是，所以 ， 解得 .故选C. 题型3 抛物线定义的应用之距离转化 22 10.[浙江嘉兴2024高二期中] 已知定点，点为抛物线上一动点，点 到直线 的距离为，则 的最小值为( ) C A.5 B. C.6 D.12 题型4 抛物线定义的应用之距离最值 23 解析 由题知,抛物线的焦点为，设点 ，则 ， 则 ，当且仅 当点为线段与抛物线的交点时，等号成立，故 的最小值为6.故选C. 题型4 抛物线定义的应用之距离最值 24 11.已知抛物线的焦点为，点在上，若点，则 周长的最小值为( ) A A.13 B.12 C.10 D.8 题型4 抛物线定义的应用之距离最值 25 解析 由题意知 , 记抛物线C的准线为，则 ， 记点到的距离为，点到的距离为 ， 则,当且仅当为到 的垂线与抛物线的交点时，等号成立. 故选A. 题型4 抛物线定义的应用之距离最值 26 12.[北京清华大学附属中学2023高二期末] 点在抛物线上，则点到直线 的距离 与到直线 的距离之和的最小值为( ) B A.4 B.3 C.2 D.1 题型4 抛物线定义的应用之距离最值 27 解析 由抛物线定义知,点到直线的距离等于点到抛物线焦点的距离，所以点 到直线 的距离与到直线的距离之和的最小值，即为焦点 到直线 的距离，即为 .故选B. 题型4 抛物线定义的应用之距离最值 28 §3 3.1 抛物线及其标准方程 刷提升 29 1.设圆与圆外切，与直线相切，则圆 的圆心轨迹为( ) A A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 30 解析 由题意知,圆C的圆心到点的距离比到直线的距离大1,即圆C的圆心到点 的距 离与到直线 的距离相等,根据抛物线的定义知,所求轨迹是抛物线. 31 2.已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则 ( ) B A.2 B.2或4 C.1或2 D.1 32 解析 因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和 ， 所以即代入抛物线方程可得，整理得 ， 解得或 .故选B. 33 3.[福建厦门2024高二期中] 已知抛物线的焦点为，过点的直线交拋物线于， 两点， 交准线于点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别记为，.若，则 的 面积为( ) A A. B.4 C. D.2 34 解析 由题意可知，，则，抛物线的准线方程为 ， 则， . 因为，所以，所以，所以 ，所以 ，，所以 . 因为，所以 ， 解得，所以，点到的距离为 ， 所以 . 35 【多种解法】在中，因为，所以 ，则 .又 ，所以 为等边三角形. 易得，所以 .故选A. 36 4.[陕西西安长安区第一中学2024期中] 已知抛物线的焦点为，其准线与 轴的交点为 ，点在抛物线上，且，则 ( ) A A. B. C. D. 37 解析 点在抛物线上，故设,又抛物线的焦点为，准线为直线 ， 故 . ，,而， ， ,整理得，解得 . 点的横坐标为 . 根据抛物线的定义，得， .故选A. 38 5.（多选）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点 在 抛物线 上，则下列结论正确的有( ) ACD A.双曲线的离心率为2 B.双曲线的渐近线方程为 C. D.点到抛物线 的焦点的距离为4 39 解析 双曲线的离心率，故A正确；双曲线的渐近线方程为 ，故B错误； 由,有相同的焦点，得，解得 ，故C正确； 抛物线的焦点为，点在上，则，故或，所以点 到 的焦点的距离为4，故D正确. 故选 . 40 6.（多选）[江苏徐州2024高二期中] 已知抛物线，为其焦点， 为抛物线上一点，则下 列结论正确的有( ) ACD A.抛物线的准线方程是 B.当轴时， 取最小值 C.若，则的最小值为 D.以线段为直径的圆与 轴相切 41 解析 对于A，抛物线的准线方程为 ，故A正确； 对于B，设，则，，，则 ， 当时取得最小值，此时 在原点，故B错误； 42 对于C，A在抛物线外部，如图①所示,故当，A，三点共线，且点在线段 与抛物线的交点 处时,取得最小值，为 ，故C正确； 图① 43 图② 对于D，过点作准线的垂线，垂足为 ，如图②所示， 设，的中点为，可得 ，由抛物线的定义 得 ， ，即点B到轴的距离等于以 为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确故选 . 44 7.[河南驻马店2024高二期中] 设为抛物线的焦点，，， 为该抛物线上不同的三点， 若，为坐标原点，则 ____. 14 解析 设，，，易知， ， 则，， . 因为，所以，即 . 由抛物线的定义可得 ， ，，所以 . 45 8.[江西师大附中2024高二期中] 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点 的 坐标为，则 的最小值是___. 46 解析 由抛物线方程可得焦点的坐标为，准线方程为 . 设点的坐标为 . 点为抛物线上的动点，，且 . 点的坐标为 , , , 当时，；当时，，当且仅当 时等号成 立，即，所以 . 综上可得，的最小值是 . 47 9.抛物线与椭圆有相同的焦点 ，两条曲线在第一象 限内的交点为，直线 的斜率为2，则椭圆的离心率为________. 48 解析 设椭圆的半焦距为，则，即，抛物线 . 由题意知，直线 ， 联立解得或则 . 又在椭圆上，所以，则 ，即 ， 整理得，即 ， 解得或（舍去），所以或 （舍去）. 49 10.[吉林白山2024高二月考] 在平面直角坐标系内，到点和直线 的距离相等的点 的轨迹是( ) A A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线 解析 点在直线上, 所求点的轨迹是过点且与直线 垂直的直线. 易错点1 忽视定义中的限制条件而致错 50 【易错警示】易忽略点与直线的位置关系而错选B,错因在于忽略抛物线定义中的条件“定点在定 直线外”. 易错点1 忽视定义中的限制条件而致错 51 11.抛物线的准线与直线 的距离为3，则此抛物线的方程为( ) D A. B. C.或 D.或 易错点2 忽略方程标准形式的特征而致错 52 解析 将化为,其准线方程为 . 由题意知或,解得或 . 则所求抛物线的标准方程为或 . 易错点2 忽略方程标准形式的特征而致错 53 【易错警示】认真区分抛物线的方程： （1）区分与 ,前者不是抛物线的标准方程. （2）求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为 或 . 易错点2 忽略方程标准形式的特征而致错 54 $$