第2章 2.2 双曲线的简单几何性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 双曲线 2 §2 2.2 双曲线的简单几何性质 刷基础 3 1.双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则 的值为( ) C A.9 B. C. D. 题型1 双曲线性质（范围、对称性、顶点）的应用 4 解析 由双曲线，可得，且, ，因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍， 可得，即，解得 .故选C. 题型1 双曲线性质（范围、对称性、顶点）的应用 5 2.[宁夏银川2024高二期中] 中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线 上的 等轴双曲线的方程是( ) A A. B. C. D. 题型1 双曲线性质（范围、对称性、顶点）的应用 6 解析 在方程中,令,得, 等轴双曲线的一个焦点坐标为, , ,故选A. 题型1 双曲线性质（范围、对称性、顶点）的应用 7 3.双曲线经过点 ，且离心率为3，则它的虚轴长是_____. 解析 由题意可得解得因此，该双曲线的虚轴长 . 题型1 双曲线性质（范围、对称性、顶点）的应用 8 4.[山东德州2023高二期中] 已知为双曲线 上的点,则该双曲线的离心 率为( ) B A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 9 解析 因为为双曲线上的点，所以，解得 或 （舍），所以,又，所以，解得或 （舍），所以该双曲线的离心率 .故选B. 题型2 求离心率的值 10 5.“，”是“双曲线的离心率为 ”的( ) D A.充要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充分不必要条件 题型2 求离心率的值 11 解析 当,时，双曲线方程是，其离心率 ；当双曲线 ，即的离心率为时， ，得 .故“,”是“双曲线的离心率为 ”的充分不必要 条件.故选D. 题型2 求离心率的值 12 6.[山东济宁2024高二质量检测] 若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则该双曲线的离心率为( ) C A.2 B. C. D. 题型2 求离心率的值 13 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 直线的斜率为，所以由题意可得，所以双曲线的离心率 ， 故选C. 题型2 求离心率的值 14 7.设双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且 .若 的面积为4，则离心率 ( ) C A. B.2 C. D. 题型2 求离心率的值 15 解析 由题意，可知 . 设，，可得，，，解得 ，所以 .故选C. 题型2 求离心率的值 16 8.设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则双曲线的离心率为( ) B A. B. C. D.3 题型2 求离心率的值 17 解析 根据双曲线的定义可得，,则 .由已 知可得.两式作差得 又 ,所以,即,得 ，两边平方得 ,即,即,则,所以双曲线的离心率 ,故选B. 题型2 求离心率的值 18 9.[北京师范大学附属实验中学2024高二期中] 已知双曲线的右焦点为 ， 过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点．若点是线段 的中 点，则双曲线的离心率为____． 题型2 求离心率的值 19 解析 双曲线的渐近线方程为 ， 由解得或又在第一象限,故 . 由解得 . ，点是线段 的中点， ，，， . 题型2 求离心率的值 20 10.[辽宁鞍山一中2023高二期中] 已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，点在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 21 解析 因为，又，所以，.又 ， 即，则，所以离心率 .故选C. 题型3 求离心率的取值范围 22 【归纳总结】求双曲线的离心率或离心率的取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立 的关 系式求的值或取值范围；另一种是建立,,的齐次关系式,将用,表示,将式子两边同除以 或 化为关于 的关系式,进而求解. 题型3 求离心率的取值范围 23 11.设双曲线的左、右焦点分别为,，过点作 轴的垂线与 双曲线在第一象限的交点为.已知，，点是双曲线 右支上的动点，且 恒成立，则双曲线离心率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 24 解析 易知,由，得，则离心率 . 恒成立, .又 ,,.又, . 题型3 求离心率的取值范围 25 12.［江苏盐城2024高二10月联考］已知椭圆的焦点为 ，双曲 线与的焦点相同，曲线,在第一象限内交于点 ， .若椭圆的离心率，则双曲线的离心率 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 26 解析 由椭圆及双曲线定义得 所以 因为 ，由余弦定理得 ，同时除以 得 ，因为，所以，则，所以 ，则 ，故选B. 题型3 求离心率的取值范围 27 13.[重庆巴蜀中学2023高二阶段检测] 双曲线 的渐近线方程是( ) D A. B. C. D. 题型4 渐近线的方程及应用 28 解析 由双曲线的方程为得,，所以渐近线方程为 .故选 D. 题型4 渐近线的方程及应用 29 14.（多选）[广东深圳2024高二期末] 若焦点在轴上的双曲线 的焦距为4，则下 列结论正确的是( ) ACD A. B. C.离心率是 D.两条渐近线的夹角为 题型4 渐近线的方程及应用 30 解析 由题意可知，双曲线的标准方程为，其中，所以 ， ，所以，得 ，故A正确，B错误； 此时，离心率 ，故C正确； 双曲线的渐近线方程为，所以其中一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，所以两条渐近线的夹角为 ，故D正确.故选 . 题型4 渐近线的方程及应用 31 15.已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线上横坐标为的点 满足，则 ( ) B A. B. C.2 D.4 题型4 渐近线的方程及应用 32 解析 由题知，双曲线的焦点为，，渐近线上横坐标为 的点，不妨取点在第一象限，可得， . 因为，所以 . 又，联立解得 .故选B. 题型4 渐近线的方程及应用 33 16.[河南南阳六校2024高二期中] 已知双曲线 的渐近线方程为 ，且双曲线过点，则双曲线 的方程为( ) B A. B. C. D. 题型4 渐近线的方程及应用 34 解析 因为双曲线C的渐近线方程为，所以可设C的方程为 ，把点 的坐标代入得，所以双曲线C的方程为，即 .故选B. 题型4 渐近线的方程及应用 35 解析 设,,则, , , . 又,,,. 该双曲 线的渐近线方程为 .故选D. 题型4 渐近线的方程及应用 36 【规律方法】双曲线的渐近线的斜率与离心率 的关系： . 题型4 渐近线的方程及应用 37 18.[河北石家庄2024高二期中] 已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的离心率为____. 题型4 渐近线的方程及应用 38 解析 由题意，双曲线的渐近线方程为 ， 即 . 由圆，可得圆心，半径 . 因为右焦点与圆心重合，所以双曲线的右焦点的坐标为，即 ，又因为双曲线 的两条渐近线均与圆相切，可得，即，解得 ，所以 ， 所以双曲线的离心率 . 题型4 渐近线的方程及应用 39 19.若双曲线的一条渐近线经过点 ,则双曲线的离心率等于_____. 或 解析 设一条渐近线方程为,由题意知,得,所以渐近线方程为 . 若焦点在轴上,则,于是离心率;若焦点在轴上,则 ,于是离心率 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 40 20.[山东泰安一中2024高二月考] 已知双曲线的渐近线方程为 ，两顶点间的距离为6， 则双曲线 的方程是_______________________． 或 解析 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得则双曲线的方程为 ； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为 ， 则解得双曲线的方程为 . 综上，双曲线的方程是或 . 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 41 【易错警示】渐近线不能确定双曲线的焦点位置,故需分类讨论. 易错点 忽视焦点位置的讨论而致错 42 §2 2.2 双曲线的简单几何性质 刷提升 43 1.[河南鹤壁2024高二月考] 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且与椭圆有公共焦点，则 的方程为( ) C A. B. C. D. 44 解析 椭圆的焦点为，又双曲线 的一条渐近线的方 程为 ， 所以解得 所以双曲线的方程为 .故选C. 45 2.[山西太原师大附中2023高二月考] 已知，分别是双曲线的左、右焦点， 为双曲线右支上 一点，若 ，， ，则双曲线的两条渐近线的夹角为( ) C A. B. C. D. 46 解析 设，，由双曲线的定义可知 . 又 ，， ， 可得， ， 即 ， 解得， ， 所以双曲线的渐近线方程为，则两条渐近线的夹角为 .故选C. 47 3.[河南商丘2023高二期中联考] 已知,分别为双曲线 的左、右顶 点，点为双曲线上异于,的任意一点，记直线、直线的斜率分别为, .若 ，则双曲线 的离心率为( ) C A.2 B. C. D. 48 解析 依题意,，设，则 ， ，又，，故 ，即 .故选C. 49 4.下列三个图中的多边形均为正多边形，图①②中,是所在边上的中点，双曲线均以图中的 , 为焦点.设图①②③中的双曲线的离心率分别为,, ，则( ) D A. B. C. D. 50 图① 解析 在图①中，连接，设 . , , , . 51 图② 在图②中，连接，，设 . ，解得 . 又, ，解 得 . , . 52 图③ 在图③中，连接， ， 设 . , , , . .故选D. 53 5. 已知点是双曲线上的动点，， 分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原 点，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 54 【思路导引】由双曲线的对称性，不妨设是双曲线右支上的一点，将 ， 代入所求式中，用含的式子表示，再根据的取值范围求得 的 取值范围. 55 解析 如图所示,由双曲线的对称性，不妨设 是双曲线C右支上的一点， ，所以 ， 同理可得，所以 . 又因为, ， 所以 . 又因为，所以,所以, ，所以 .故选B. 56 【二级结论】设焦点在轴上的双曲线方程为,其左、右焦点分别为 ， ,为双曲线上任一点,则, ； 设焦点在轴上的双曲线方程为,其上、下焦点分别为， , 为 双曲线上任一点,则, . 57 6.（多选）[陕西汉中2024高二期末联考] 已知双曲线的左、右焦点分别为, , 是双曲线 上的一个动点，则下列结论正确的有( ) BC A.若的面积为20，则 B.双曲线的离心率为 C.的最小值为1 D.若为直角三角形，则 58 解析 由题意可知,，即，若 的面积为20，则 ，故A错误； 根据双曲线方程可知C的离心率 ，故B正确； 由，则 ， 又或，所以当时，有，当时， ，故 ， 时取得等号，故C正确； 若为直角三角形，则当 时满足题意，此时 ，则 ，故D错误.故选 . 59 7.[江西2024高二期中联考] 已知,分别是双曲线 的上、下焦点， 经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且点 在第四象限，四边形 为平行四边形，若双曲线的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角 的取 值范围是________. 60 解析 由双曲线的对称性可知点也在双曲线的渐近线上，且点 在第二象限， 由轴，可知轴，所以可设，又点在渐近线 上， 所以，所以因为 的离心率的取值范围是 ，所以,所以 ， 又，所以 . 61 8.已知双曲线的方程为 . （1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； 【解】由双曲线方程得,,,, 焦点坐标分别为 ,,离心率,渐近线方程为 . 62 （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求 的大小. [答案] 由双曲线的定义可知 , ,则 . 63 $$