第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 双曲线 2 §2 2.1 双曲线及其标准方程 刷基础 3 1.[四川成都石室中学2024高二期中] 已知双曲线的左、右焦点分别是，， 是 双曲线上一点.若，则 ( ) D A.3 B.9 C.21 D.27 题型1 双曲线定义的理解 4 解析 由已知可得，解得或 ，又因为 时，，故舍去；当 时， ，满足题意，故选D． 题型1 双曲线定义的理解 5 2.对于常数，，“”是“方程 对应的曲线是双曲线”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型1 双曲线定义的理解 6 解析 可整理成，当，即且或且 时，方程 即 表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则,即 ，则必要性成立. 综上，“”是“方程 对应的曲线是双曲线”的充要条件.故选C. 题型1 双曲线定义的理解 7 3.（多选）[山东青岛二中2024高二期中] 已知方程 ，则下列说法中正确 的是( ) BCD A.方程 可表示圆 B.当时，方程表示焦点在 轴上的椭圆 C.当时，方程表示焦点在 轴上的双曲线 D.当方程 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 题型1 双曲线定义的理解 8 解析 对于A，当方程C表示圆时， ，无解，故A错误; 对于B，当时，，，表示焦点在 轴上的椭圆， 故B正确； 对于C，当时，，，表示焦点在 轴上的双曲线，故C正确; 对于D，当方程C表示双曲线时, ，焦距为10, 当方程C表示椭圆时， ，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确. 故选 . 题型1 双曲线定义的理解 9 4.[安徽滁州九校2024高二期中] 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，，点在双曲线上，且，则双曲线 的方程是( ) D A. B. C. D. 题型2 双曲线方程的求解 10 解析 由题意可知，，解得， ， 所以双曲线C的方程是 ．故选D． 题型2 双曲线方程的求解 11 5.[重庆巴蜀中学2024高二期中] 已知，圆，动圆经过点且与圆 相切，则动圆圆心 的轨迹方程是( ) C A. B. C. D. 题型2 双曲线方程的求解 12 解析 圆，即，圆心为，半径，设动圆 的半径 为 . 若动圆与圆C相内切，则圆C在圆内，所以， ，所以 ，所以动点的轨迹是以, 为焦点的双曲线的右支，且 ,，所以 ， 所以动圆圆心的轨迹方程是 ； 若动圆与圆C相外切，则，，所以 ，所以动 点的轨迹是以,为焦点的双曲线的左支，且,，所以 ， 所以动圆圆心的轨迹方程是 . 综上可得，动圆圆心的轨迹方程是 .故选C. 题型2 双曲线方程的求解 13 6.[福建泉州2024高二期中] 经过点,, 的双曲线的标准方程为___________． 解析 设双曲线的标准方程为 ， 代入点,的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为 . 题型2 双曲线方程的求解 14 7.已知为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点， 为双曲线上任一点，过 点作的平分线的垂线，垂足为，则 ( ) A A.1 B.2 C.4 D. 题型3 双曲线定义及方程的应用 15 解析 不妨在双曲线右支上取点,延长,,交于点 ,如图所示.由角平 分线性质及可知 .根据双曲线的定义得 ,从而.在中,为其中位线,故 . 故选A. 题型3 双曲线定义及方程的应用 16 8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是 上一点，且位于第一象限， ，则点 的纵坐标为( ) C A.1 B.2 C. D. 题型3 双曲线定义及方程的应用 17 解析 因为，所以 .由双曲线的定义可得 ，所以 ， 解得，故的面积为 . 设点的纵坐标为 ， 则的面积为，解得 . 所以点的纵坐标为 .故选C. 题型3 双曲线定义及方程的应用 18 9.若点在曲线上，点在曲线上，点 在曲线 上，则 的最大值是( ) B A.9 B.10 C.11 D.12 题型3 双曲线定义及方程的应用 19 解析 在双曲线中，，， ，易知两圆圆心分别为双 曲线 的两个焦点， 记点,，当取最大值时，在双曲线 的左 支上，如图所示， 所以 .故选B. 题型3 双曲线定义及方程的应用 20 10.[广东汕头2024高二期中] 已知是双曲线的右焦点，是 的左支上一点， ，则 的最小值为( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 题型3 双曲线定义及方程的应用 21 解析 由双曲线方程可知，，，故右焦点，设左焦点为 ,则 . 当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 ， 所以，从而 ， 又 ， 所以，因此的最小值为6，此时点在线段 与双曲线左支的交点处.故选B. 题型3 双曲线定义及方程的应用 22 §2 2.1 双曲线及其标准方程 刷提升 23 1.对于方程表示的曲线 ，下列说法正确的是( ) B A.曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B.若 为负角，则曲线 为双曲线 C.若 为正角，则曲线为椭圆 D.若为椭圆，则其焦点在 轴上 24 解析 当，即时，方程为， ，此时曲线C为两条平行的直线，故A错 误； 若 为负角，即，则 ，此时曲线C为双曲线，故B正确； 若 为正角，即，当时，，则方程为 ，表示圆，故C错误； 若C为椭圆，则，，又可变形为 ，则C为焦点 在 轴上的椭圆，故D错误.故选B. 25 2.[河北衡水二中2024高二四调] 已知，分别是双曲线的左、右焦点，点 在双 曲线的右支上，且，则 ( ) A A. B. C. D. 26 解析 由题意可得，由双曲线的定义得 ，而 ,解得， ， 由余弦定理得 ，所以 .故选A. 27 3.（多选）下列说法正确的是( ) BD A.若定点,满足，动点满足，则动点 的轨迹是双曲线 B.若定点,满足，动点满足，则动点 的轨迹是椭圆 C.当时，曲线 是椭圆 D.双曲线与椭圆 有相同的焦点 28 解析 对于A，定点,满足，动点满足，则动点 的轨迹 是以 为端点的一条射线，故A错误； 对于B，定点,满足，动点满足，则动点 的轨迹是 以, 为焦点的椭圆，故B正确； 对于C，当时，曲线，即 ，是圆，故C错误； 对于D，由双曲线可知其焦点为，由椭圆可知其焦点为 ， 故D正确.故选 . 29 4.[陕西西安铁一中学2024高二期中] 已知焦点为,的双曲线的离心率为,点为 上一点， 且满足.若的面积为，则双曲线 的实轴长为( ) B A.2 B. C. D. 30 解析 设，则，故，所以 ， ，故，而，则 ，则 ，又，所以 ，故 ，即，解得，故实轴长 . 故选B. 31 5.已知点,分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线 在第一象限交 于点.若的内切圆的半径为1，则直线 的斜率为( ) B A. B. C.1 D. 32 解析 如图，设的内切圆的圆心为 ，内切圆与三边分别相切于点 ,, ， 可得 ， 所以，即的内切圆与 轴相切于双曲线的右顶点，即双曲 线的右顶点为 . 设直线的倾斜角为 ，则 ，则由内切圆的性质可知 轴，所以在中， ，所以 ，故选B. 33 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与 在第一象限交于点，的平分线与轴交于点，则 ( ) C A.1 B. C.2 D. 34 【思路导引】 35 解析 由双曲线得，故 ， ，即，，，，设 的平 分线与轴交于点 ，如图. 因为轴，所以可设，代入双曲线方程得 ，故 ，则，即，即 . 因为，，所以，又因为 平分，所以 . 又，所以，则 ，即 . 因为,,三点共线，所以，即，解得 .故选C. 36 7.[福建三明2024高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为, ，双曲线 与共焦点，点在双曲线 上． （1）求双曲线 的方程; 37 【解】由椭圆方程可知，， ， 点在双曲线 上, , ， ， 双曲线的方程是 . 38 （2）已知点在双曲线上，且 ，求 的面积． [答案] 由双曲线的对称性，不妨设， ， 则 ②变形为,,解得 ， . 39 8.[江西师大附中2024高二期中] 已知动圆与圆 外切，与圆 内切，则动圆圆心 的轨迹为( ) D A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 易错点1 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 40 解析 设动圆C的圆心，半径为，圆的圆心为 ，半径为2,圆 的圆心为，半径为2，由题意可得 所以 ,根据双曲线的定义知，点C的轨迹为以, 为焦点的双曲线的左 支.故选D. 易错点1 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 41 【易错警示】由,得点的轨迹是以, 为焦点的双曲线的左支.本 题易忽略 只表示双曲线的一支而导致求解错误. 易错点1 忽视双曲线方程中的限制条件而致错 42 9.[河南南阳一中2024高二月考] 曲线的方程为，讨论 取不同值时，方 程表示的是什么曲线？ 【解】当时， ,表示两条直线; 当时，,表示焦点在 轴上的双曲线； 当时， ,表示单位圆； 当且时， ,表示椭圆. 易错点2 考虑不全面而致错 43 【易错警示】本题容易忽略和这两种特殊的情形.其次，当 时注意判断双曲线 焦点的位置. 易错点2 考虑不全面而致错 44 $$