第2章 1.2 椭圆的简单几何性质-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 椭圆 2 §1 1.2 椭圆的简单几何性质 刷基础 3 1.（多选）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为 ，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离 之和为12，则椭圆 的方程为( ) AC A. B. C. D. 题型1 椭圆性质的应用 4 解析 由椭圆的定义可得， . 因为椭圆的离心率为，则，所以 . 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为 ； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的方程为.故选 . 题型1 椭圆性质的应用 5 2.[河南新乡一中2023高二月考] 椭圆与椭圆 的( ) D A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 题型1 椭圆性质的应用 6 解析 由椭圆可得 . 由椭圆可得 ，显然D正确； 又, 均不一定成立，故A，B错误； 由 可得C错误.故选D. 题型1 椭圆性质的应用 7 3.[四川自贡2024高二期末] 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面 （椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口 是椭 圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点 上，由椭 圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 .已知 B A.5 B.10 C.6 D.9 ，，，则光从焦点出发经镜面反射后到达焦点 经过的路径长为 ( ) 题型1 椭圆性质的应用 8 解析 如图，以的中点为坐标原点，所在直线为 轴，建立平面直 角坐标系，设椭圆的方程为，，当 时，，解得 . 因为，，所以，所以 ①， 又因为，所以②，由①②解得，所以光从焦点 出发经镜面反射后到达 焦点经过的路径长为 .故选B. 题型1 椭圆性质的应用 9 4.（多选）[陕西西安长安区第一中学2024高二期中] 设椭圆 的左、右焦点分别为 ，，是椭圆 上的动点，则下列说法正确的是( ) AB A. B.椭圆的离心率 C.面积的最大值为 D.以线段为直径的圆与直线 相切 题型1 椭圆性质的应用 10 解析 椭圆C的方程为，,, ，由椭圆的定义可知 ，故A正确； 离心率 ，故B正确； 的面积，而，面积最大值为 ，故 C错误； ,,， 以线段为直径的圆的方程为，其圆心为 ， 半径为1，又直线方程为， 圆心到直线的距离 ， 以线段为直径的圆与直线相离，故D错误.故选 . 题型1 椭圆性质的应用 11 5.为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则 的取 值范围是_______. 解析 由题意知， .因为 ,即,所以的取值范围是 ． 题型1 椭圆性质的应用 12 6.点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，且 的内切圆半径为1， 当在第一象限内时，点 的纵坐标为__. 解析 根据椭圆的定义可知, . 设内切圆圆心为,半径为 ,则 . 设点的纵坐标为,则,又,, . 题型1 椭圆性质的应用 13 7.[湖北武汉外国语学校2024高二期末] 已知椭圆的离心率为，则 ( ) C A.或2 B. C.或 D.1 题型2 求离心率的值 14 解析 椭圆，离心率为 ， 当其焦点在轴上时，,，则，所以，又 ， 解得 ； 当其焦点在轴上时，,，则，所以，又 ， 解得 . 综上，或 .故选C. 题型2 求离心率的值 15 8.[辽宁大连2024高二期中] 已知是椭圆上一点，， 分别是椭圆的左、 右焦点.若 的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为 ( ) A A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 16 解析 由题意可知,解得所以椭圆的离心率 .故选A. 题型2 求离心率的值 17 9.[天津实验中学2024高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为， ，点 是椭圆短轴的一个端点，且 ，则椭圆的离心率为( ) C A. B. C. D. 题型2 求离心率的值 18 解析 由题意可知，.在 中， 由余弦定理得，化简得，则，所以 ，故选 C. 题型2 求离心率的值 19 10.[四川泸州2024高二期末] 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点 为线段的中点（为坐标原点），点在椭圆上且满足轴，点到直线的距离为 ， 则椭圆的离心率为( ) A A.或 B. C.或 D. 题型2 求离心率的值 20 解析 轴， 将代入椭圆方程可得 ， 不妨设， 直线的斜率为 ， 则直线的方程为，即 ， 则到直线的距离为 ， 整理得 ， ，解得或，即或，则椭圆的离心率为或 .故选A. 题型2 求离心率的值 21 11.（多选）[山东日照2023高二期中校际联考] 如图所示，一 个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角 的平面所 截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是( ) BD A.椭圆的长轴长为8 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的离心率为 D.椭圆的一个方程可能为 题型2 求离心率的值 22 解析 由题意易知椭圆的短半轴长，因为截面与底面所成的角 ，所以椭圆的长轴长 ，则，所以，离心率 .当以椭 圆的中心为原点，椭圆的长轴所在直线为轴，短轴所在直线为 轴建立平面直角坐标系时，椭圆 的方程为.故选 . 题型2 求离心率的值 23 12.椭圆的两个焦点分别为， ，点是椭圆上一点，且满足 ,则椭圆的离心率 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 24 解析 点是椭圆上一点，且满足，设 为短轴端点，当 时，必存在点，使 ，如图所示. 此时 ，所以 ，所以 ，即，即，所以椭圆离心率 的取值范 围为 .故选C. 题型3 求离心率的取值范围 25 13.[山西大同2024高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为,，点 , 在上，四边形是等腰梯形，,，则的离心率 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 26 解析 依题意得，如图,连接 . 由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的 距离， 于是，解得 ， ， 在中， ， 所以，解得 ， 所以C的离心率的取值范围是 .故选B. 题型3 求离心率的取值范围 27 14.[安徽部分学校2024高二期末] 已知椭圆的长轴长大于，若当 变 化时直线与椭圆都恒过同一个点，则 的离心率的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型3 求离心率的取值范围 28 解析 直线，即，该直线过定点，所以点 在椭圆C上，所以，即，又，则 ， 所以，因为C的长轴长大于，所以， ， 所以，解得，所以 .故选B. 题型3 求离心率的取值范围 29 15.已知椭圆的左、右两个焦点分别为， ，若椭圆上存在点，使得 是直角，则椭圆离心率的取值范围是_______. 解析 若椭圆上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆 有 交点. 设,，则以为直径的圆为 ， 联立解得，即，所以 ， 解得.又，故 . 题型3 求离心率的取值范围 30 【归纳总结】椭圆离心率范围的求解是考查的热点,常见的解题方法有利用几何特征建立不等关系 或建立目标函数求解.利用几何法建立不等关系式时注意题目中隐含的几何特性（如两边之和大于 第三边）,同时注意椭圆定义的应用. 题型3 求离心率的取值范围 31 17.已知点，是椭圆的左、右焦点，点 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是( ) C A.0 B.1 C.2 D. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 32 解析 设,则, , , . 点在椭圆上,, 当时, 取得最小值2.故选C. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 33 18.已知椭圆的一个顶点为，对于轴上的点，椭圆上存在点 ，使 得，则实数 的取值范围是_________. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 34 解析 设,则 .① , , 由可得,即 .② 由①②消去,整理得 . 因为,所以 . 因为,所以 . 所以实数的取值范围为 . 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 35 【易错警示】设椭圆上点的坐标为,则, ,这往往在求与 椭圆有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因. 易错点 忽略椭圆中变量的取值范围而致错 36 §1 1.2 椭圆的简单几何性质 刷提升 37 1.[湖北武汉2024高二月考] 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用 “逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 的中心 为原点，焦点，在轴上，椭圆的面积为 ，且离心率为，则 的标准方程为( ) A A. B. C. D. 38 解析 由题意可得，，即.又，所以， ，所以椭 圆的标准方程为 .故选A. 39 2.[安徽安庆2024高二月考] 如图，圆与椭圆相切，已知, 分别是椭圆的左、 右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段 的中点， 则椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. 40 解析 由题可令为椭圆的长半轴长，为短半轴长，如图,连接, . 因为线段与圆相切于点，所以.又因为为线段 的中 点,点为线段的中点，所以， 且 ,所以 ，所以 ，整理得 ，所以 ，所以离心率 ，故选A. 41 3.[江西上饶2024高二期末] 已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点 作直线与圆 相切，切点为，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 42 解析 设为椭圆的右焦点，由题知,，故, ，显然 为圆的圆心，则 ，由椭圆定义得 ，故 . 令,，所以, ，又函 数,在上均单调递增，故在 上单调递增，所以 .故选A. 43 4.（多选）[吉林省实验中学2024高二期末] 已知椭圆， 为椭圆上一 个动点，,为其左、右焦点，当垂直于轴时， ，则下列选项正确的有( ) ACD A. B. 的最小值为1 C.当三点可构成三角形时，面积的最大值为 D.当三点可构成三角形时，满足为直角三角形的点 的个数为8 44 解析 由椭圆方程可知，，，当垂直于轴时， ，则 ，由勾股定理得，即 ， 解得，，则， ，A选项正确. 的最小值为 ，B选项错误. 当三点可构成三角形时，当为上顶点或下顶点时， 的面积最大，最大值为 ，C选项正确. 当三点可构成三角形时，若直角顶点为或时，满足题意的点 有4个；若直角顶点 为点时，由，可知以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，则满足题意的点 有4个，所 以满足为直角三角形的点的个数为8，D选项正确.故选 . 45 5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为,，点为椭圆 上的一个动点，点 ，则下列结论正确的是( ) BCD A.存在点，使得 B.的面积的最大值为 C.点到直线距离的最大值为 D. 的最大值为7 46 解析 对于A，当为椭圆短轴端点时， 最大，此时 ，即为锐角，所以不存在点 ，使得 ，即与 不垂直，故A错误； 对于B，当为椭圆短轴端点时，的面积最大，且最大面积为 ，故B正 确； 对于C，由椭圆，令则有，所以点 到直线 的距离，其中 ，当且仅当 时， ，故C正确； 对于D，由椭圆得，又，所以 ， 所以，当且仅当 为射线 与椭圆的交点时等号成立，故D正确.故选 . 47 6.设是椭圆的长轴，点在椭圆上，且，若， ，则椭圆的两个焦 点之间的距离为_____. 解析 不妨设椭圆的标准方程为,由题意知, . ,, 不妨设点的坐标为 . 点在椭圆上,,,, ,则椭圆的两个焦点之间 的距离为 . 48 7.[河南省实验中学2024高二期中] 设是椭圆的上顶点，若椭圆 上的任意 一点都满足，则 的离心率的取值范围是_______． 解析 设，由题得，，则 ，即 ，故 ，即 ， 又，所以对 恒成立，即 ， 解得，则,即，故椭圆的离心率的取值范围为 . 49 8.[江苏连云港2023高二期中] 将圆 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一 半，得到曲线 . （1）求曲线 的方程； 【解】在曲线上任取一点，则在圆上，所以 ，即 ， 所以曲线的方程为 . 50 （2）设点，点为曲线上任一点，求 的最大值. [答案] 设 ，则 ， , 所以当时,，所以，即的最大值为 . 51 $$