第2章 1.1 椭圆及其标准方程-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §1 §1 椭圆 2 §1 1.1 椭圆及其标准方程 刷基础 3 1.（多选）[山东济南一中2024高二月考] 平面上，动点满足以下条件，其中 的轨迹为椭圆的 是( ) BD A.到两定点，的距离之和为4 B.到两定点， 的距离之和为6 C.到两定点，的距离之和为6 D.到两定点， 的距离之和为8 题型1 椭圆定义的理解 4 解析 因为两定点，的距离为 ，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义； 因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合.故选 . 题型1 椭圆定义的理解 5 2.[安徽马鞍山二中2023高二期中] 点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段 的 中点为，且（为坐标原点），则线段 的长为( ) A A.2 B.3 C.4 D. 题型1 椭圆定义的理解 6 解析 如图所示，不妨设为左焦点，为右焦点，连接为 的中点，且 ，.由椭圆方程可知， ，根据椭圆定义有 ， .故选A. 题型1 椭圆定义的理解 7 3.[江西师大附中2024高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为,，过的直线 交于,两点，则 的周长为( ) D A.2 B.4 C. D. 题型1 椭圆定义的理解 8 解析 由得，则由椭圆的定义可知， 的周长为 .故选D. 题型1 椭圆定义的理解 9 4.[吉林省吉林市2023高二期中] 过点且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程为( ) B A. B. C. D. 题型2 椭圆方程的求解 10 解析 设椭圆的方程为，根据题意知,又椭圆过点 ，所以 ，且，计算得，，所以椭圆的方程为 ，故选B. 题型2 椭圆方程的求解 11 5. [福建厦门2024高二月考] 一个动圆与圆 外切，与圆 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为( ) A A. B. C. D. 题型2 椭圆方程的求解 12 解析 设动圆半径为，圆心为，根据题意可知，，,,, ， ，， ，故动圆圆心的轨 迹为焦点在轴上的椭圆，且焦点坐标为和，其中,, , ，所以，故动圆圆心的轨迹方程为 ，故选A. 题型2 椭圆方程的求解 13 【链接教材】这道题目是将教材上的P58B组第7题改编得到的，以两圆的位置关系为载体，考查 椭圆的定义和轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键.基本的解题思路是利用动圆分别与两圆 外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆 锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 题型2 椭圆方程的求解 14 6.如图所示，,分别为椭圆的左、右焦点，点 在椭 圆上，是面积为的正三角形，则 的值为( ) B A. B. C. D. 题型2 椭圆方程的求解 15 解析 因为是面积为的正三角形，所以，解得.所以点 的坐标 为,将其代入椭圆方程得，与联立,解得 .故选B. 题型2 椭圆方程的求解 16 7.设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且 ， .若 ，则椭圆的标准方程为___________. 题型2 椭圆方程的求解 17 解析 ,,.又, .由椭圆定 义可知,,, 椭圆的 标准方程为 . 题型2 椭圆方程的求解 18 【归纳总结】求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦 点所在的位置,然后根据条件建立关于, 的方程（组）.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解, 有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为 的形式. 题型2 椭圆方程的求解 19 8.[北京交通大学附属中学2024高二月考] 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的取 值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 椭圆定义及方程的应用 20 解析 由题意得 解得或，即 .故选C. 题型3 椭圆定义及方程的应用 21 9.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点.若，则点 的横 坐标为( ) B A. B. C.4 D.9 题型3 椭圆定义及方程的应用 22 解析 设，, ， ，,与 联立， 解得 ，故选B. 题型3 椭圆定义及方程的应用 23 10.已知椭圆，点与椭圆的焦点不重合.若关于椭圆 的焦点的对称点分别为 ，，线段的中点在椭圆上，则 ____. 12 解析 如图,设线段的中点为,连接,,则由是 的中点,可知 . 同理可得 . . 根据椭圆的定义得, . 题型3 椭圆定义及方程的应用 24 §1 1.1 椭圆及其标准方程 刷提升 25 1.[湖南娄底2024高二期末] 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 26 解析 因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以 ，即 ，解得且 ,故选D. 27 2.[浙江宁波2024高二期中] 已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点， 为 顶点的三角形面积等于1，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 28 解析 设，由题知，，所以 ，又 ，所以，将其代入，解得，所以 ，故选B. 29 解析 由题得,所以，所以 ，当且仅 当时， 取得最大值25.故选D. 30 4.设，分别为圆和椭圆上的点，则, 两点间的最大距离是 ( ) D A. B. C. D. 31 解析 由题可得椭圆与圆相离.设椭圆上的一点，则 .因为圆 的圆心为，半径为，所以点 与圆心的距离为 ，当且仅当 时等号 成立，所以,两点间的最大距离是 故选D. 32 5.（多选）[山东青岛2023高二期中] 若椭圆 和椭圆 的焦点相同，且 ，则下列结论正确的为( ) BCD A. B. C. D.椭圆和椭圆 没有公共点 33 解析 由已知条件可得，可得 ，故A错误； 由，，得，，所以， ，即 ，故B正确； 因为,，所以 ，又 ，可得 ，故C正确； 因为，而，所以 ，可知两椭圆无公共点，故D正确. 故选 . 34 6.[黑龙江哈工大附中2024高二期末（改编）] 如图，把椭圆 的长 轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于， ， ， 七个点，是椭圆的左焦点，则 ____. 35 解析 设椭圆右焦点为,由椭圆的对称性知,, , , 原式 . 35 7.[安徽合肥八中等校2023高二期中] 已知，是椭圆的两个焦点，为 上一点， 则 的最大值为__. 36 解析 由，可知,，， ，所以 ，又 ，所以当 或时， ， 又，所以的最大值为 . 37 8.[重庆八中2023高二月考] 已知椭圆，,分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点， ，则 ___________. 或 38 解析 由题意可得， . 在 中,由余弦定理可得 ，所以 有 ， 即 ， 即 ， 39 所以 ， 整理得，所以或 ， 解得或，又因为 ， 所以或 . 【多种解法】（焦点三角形公式）已知 ，由焦点三角形面积 公式得 , 又,所以 , 又因为,所以 . 【二级结论】已知椭圆上一点， ，则 . 证明：由椭圆定义得 ， 左右两边平方得 , ① 由余弦定理得 , ② 得 ， 故 . 另外 . 42 （2）求点 的坐标. [答案] 设点，由题意可知 . ， . 将点的坐标代入椭圆的方程可得，解得，故点的坐标为， 或 ， . 43 10.[浙江嘉兴2024高二阶段测试] 椭圆的焦距为4，则 的值为_______． 10或2 解析 由椭圆的焦距为4，得,即.当,时，, ； 当,时，,.故 的值为10或2. 易错点 忽视焦点位置的分类讨论而致错 44 【易错警示】在解决与椭圆方程有关的问题时,要注意椭圆焦点的位置,即焦点在轴上还是在 轴 上,一般需进行分类讨论. 易错点 忽视焦点位置的分类讨论而致错 45 $$