第1章 2.3 直线与圆的位置关系-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (北师大版2019)

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 圆与圆的方程 2 §2 2.3 直线与圆的位置关系 刷基础 3 1.直线与圆 的位置关系为( ) B A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 4 解析 圆心到直线的距离.因为 ,所以直线与圆相交但直线不过 圆心,故选B. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 5 2.[山西太原2024高二期中] 已知直线，圆，则直线 与圆 的位置关系是( ) A A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 6 解析 已知直线，变形整理得 ， 由得即直线恒过定点，代入圆C的方程的左端有 ， 即点在圆内，所以直线 与圆C相交.故选A. 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 7 3.（多选）[辽宁鞍山一中2023高二期中] 已知圆，点 ，则下列说法正确 的有( ) AB A.若点在圆上，则圆在点处的切线方程为 B.若点在圆外，则直线与圆 相交 C.若点在圆内，则直线与圆 相交 D.若点在圆外，则直线与圆 位置关系不确定 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 8 解析 对于A，点在圆上，则，因为点的坐标满足 ，故直线 过点.又点到直线的距离 ，故直线 与圆相切.综上所述，若点在圆上，则圆在点 处的切线方程为 ，A正确. 对于B，D，点在圆外，则，又点到直线的距离 ， 故直线与圆 相交，所以B正确，D错误. 对于C，点在圆内，则，又点到直线的距离 ，故 直线与圆 相离，C错误. 故选 . 题型1 直线与圆位置关系的判断与应用 9 4.[湖南长沙2024高二期中] 过点的直线与圆相切，则直线 的方 程为( ) B A.或 B.或 C.或 D.或 题型2 直线与圆相切的有关问题 10 解析 圆化为标准方程得，则圆心为 ， 半径为2. 当直线的斜率不存在时，直线 ， 此时直线与圆 相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ， 圆心到直线的距离，由相切得，所以，解得 ， 得直线方程为.综上，直线的方程为或 ．故选B. 题型2 直线与圆相切的有关问题 11 5.若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和 轴都相切，则该圆的标准方程是 ( ) A A. B. C. D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 12 解析 设圆心，圆 ， 依题意有，圆心到直线的距离为 , 解得或 （舍去）. 所以圆C的标准方程为 . 故选A. 题型2 直线与圆相切的有关问题 13 6.[北京通州区2024高二期中] 过直线上一点作圆的两条切线 ， ，切点分别为，，当直线，关于直线对称时，线段 的长为( ) C A.4 B. C. D.2 题型2 直线与圆相切的有关问题 14 解析 如图所示，圆心,连接,，因为直线，关于直线 对称，所以垂直于直线，故,而 ,则 .故选C. 题型2 直线与圆相切的有关问题 15 7.过点总可以作两条直线与圆相切，则实数 的取值范围是 ( ) D A. B.， C.， D.,, 题型2 直线与圆相切的有关问题 16 解析 把圆的方程化为标准方程得由 ，解得 .由题意得点 应在已知圆的外部， 把点的坐标代入圆的方程得，即 ，解得 或 . 综上所述，实数的取值范围是，， .故选D. 题型2 直线与圆相切的有关问题 17 8.（多选）[江苏宿迁2024高二月考] 已知圆，过直线上一点 作圆 的两条切线，切点分别为, ，则( ) ABC A.若点，则直线的方程为 B.四边形面积的最小值为 C.线段长度的最小值为 D.点始终在以线段 为直径的圆上 题型2 直线与圆相切的有关问题 18 解析 对于A，点，连接,，,则, ， 故A,B在以为直径的圆上，而,则以 为直径的圆的方程为 ，将方程和 相减得 ，即直线的方程为 ，A正确； 对于B，由题意知，则四边形的面积 ， 题型2 直线与圆相切的有关问题 19 而的最小值即为原点到直线的距离，故四边形 的面积 的最小值为 ，B正确； 对于C，设，则以为直径的圆的方程为，与 相减， 即得直线的方程为，又，故 ，即 ，令得，即直线过定点，设为 ，则 ，当时，最小，最小值为 ，C正确； 对于D，在四边形中，不一定是直角，故点不一定在以线段 为直径的圆上，D错 误.故选 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 20 9.直线与直线是圆的两条切线，则圆 的面积是_____. 解析 易知直线与直线平行，若两条平行直线是圆 的两条切线， 则两直线之间的距离为圆的直径.直线，即，与直线 间的距离 ，则圆的半径，圆的面积 . 题型2 直线与圆相切的有关问题 21 10.[江西新余六中2024高二统考] 过三点，，的圆交轴于， 两点，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 22 解析 由，，可知，直线与轴平行，直线与轴平行，所以 ， 即圆为直角三角形的外接圆，所以圆心坐标为的中点，即圆心为 ，故半 径 ，由圆中弦长、弦心距、半径的关系可得 .故选D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 23 11.[陕西西安长安区一中2024高二期中] 已知直线交圆于， 两 点，则（ 为坐标原点）的面积为( ) B A. B. C.49 D.98 题型3 直线与圆相交的有关问题 24 解析 由题意，圆，可得圆心，则圆心到直线 的距离 ，所以 ，所以 .故选B. 题型3 直线与圆相交的有关问题 25 12.[湖北武汉部分重点中学2024高二期中联考] 已知圆 ，直线 与圆相交于，两点，则 的最小值为( ) A A. B.2 C.4 D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 26 解析 由圆C的方程可得圆心，半径，直线 的方程可整理为 ,令解得所以直线恒过定点 . 由题意知，当与垂直时，弦长最小，又， ， 所以此时，直线 ， 点C到直线的距离，所以 .故选A. 题型3 直线与圆相交的有关问题 27 13.[安徽六安舒城中学2023高二期中] 不论为何实数，直线 与圆恒有公共点，则实数 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 28 解析 由，得，则，得 . 由，得 ， 由解得所以直线恒过定点 . 因为直线与圆 恒有公共点， 所以点 在圆内或圆上， 所以，即，解得 . 综上， .故选C. 题型3 直线与圆相交的有关问题 29 14.[北京第十五中学2024高二期中] 已知直线与曲线 有两个公共点， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 题型3 直线与圆相交的有关问题 30 解析 由可得，所以曲线 为半圆，又由直线 可得，直线恒过定点，记 . 当直线与半圆 相切时，圆心到直线的距离 为，解得，又,如图所示，当 时，直线 与曲线 有两个公共点.故选A. 题型3 直线与圆相交的有关问题 31 15.[吉林东北师大附中2023高二期末] 已知圆，直线 . （1）写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆 的位置关系； 【解】整理得，故圆的圆心坐标为，半径为 . 可变形为，故直线过定点 . 因为，故点在圆内，所以直线与圆 相交. 题型3 直线与圆相交的有关问题 32 （2）若直线与圆交于两点,，且，求直线 的方程. [答案] 圆心到的距离 ， 所以，解得 ， 故直线的方程为或 . 题型3 直线与圆相交的有关问题 33 16.[福建厦门2024高二期中] 如图，已知一艘停在海面上的海监船 上配有雷 达，其监测范围是半径为 的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东 的处出发，径直驶向位于海监船正北的 处岛屿，速度为 ,则这艘轮船能被海监船监测到的时长为( ) C A. B. C. D. 题型4 直线与圆的方程的应用 34 解析 如图，以为坐标原点，东西方向为 轴建立如图所示的平面直角坐标 系,连接 . 则，，圆方程为，直线 的方程为 ，即 . 设点到直线的距离为，则 ，所以该艘轮船能被海 监船监测到.设监测到的时长为，则 ，因此该艘轮船能被海监船监测到的 时长是 .故选C. 题型4 直线与圆的方程的应用 35 17.[河北石家庄2024高二期中] 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中 底面的长为16米，最大高度的长为4米，以为坐标原点， 所在的直 线为 轴建立平面直角坐标系． （1）求该圆弧所在圆的方程. 【解】由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在轴上，设圆心为 . 设该圆的半径为米，则，解得 ， 因此 , 故该圆弧所在圆的方程为 ． 题型4 直线与圆的方程的应用 36 （2）若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证 安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作 长方体） [答案] 设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为米，则 ，解得 ． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度应为5×2.5+4×0.5=14.5> ，故该隧道不 能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度应为4×2.5+3×0.5=11.5< ，则隧道能并 排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 题型4 直线与圆的方程的应用 37 18.已知圆的方程为 ． （1）求过点且与圆相切的直线 的方程； 【解】根据题意，得点在圆 外，分两种情况讨论： 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆 相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，因为直线 与圆 相切，所以圆心到直线的距离为，解得 ， 此时，直线的方程为 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 38 （2）直线过点，且与圆交于,两点，若，求直线 的方程. [答案] 根据题意，若，则圆心到直线的距离 ，结合（1）知 直线 的斜率一定存在. 设直线的方程为，即，则，解得 或 . 所以满足条件的直线的方程是或 . 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 39 【易错警示】求过某点的圆的切线问题时，应先确定该点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在 圆内,则过该点的切线不存在;若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的 切线有两条，此时应考虑切线斜率不存在的情况. 易错点 求圆的切线方程考虑不全致误 40 $$