专题3 数列的综合应用-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第三册 RJB 1 3 专题3 数列的综合应用 刷难关 2 1.数列 的最大项为第 项，则 ( ) C A.4或5 B.5 C.5或6 D.6 题型1 数列与函数、不等式的综合 3 解析 令 ,则 ，则 . 故当 时，数列 单调递增；当 时，数列 单调递减,所以 第5或第6项是数列的最大项，故选C. 题型1 数列与函数、不等式的综合 4 2.[江苏淮安2022高二期末] 已知数列 满足 ， 且 .若 恒成立，则 的最小值是( ) C A.2 B. C. D.3 题型1 数列与函数、不等式的综合 5 解析 因为数列 满足 ， 且 , 所以 时， . 因为 恒成立，所以 ， 也成立，所以 的最小值是 ，故选C. 题型1 数列与函数、不等式的综合 6 3.[安徽合肥2023开学考] 已知数列 的通项公式为 ，数列 的前 项和为 . 若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 题型1 数列与函数、不等式的综合 7 解析 ， 数列 为递增数列. 若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，则当 为奇数时， ，故 ，即 ； 当 为偶数时， ，故 ，即 .综上所述,实数 的取值范围是 .故选B. 题型1 数列与函数、不等式的综合 8 4.[湖南株洲二中2023高二入学考试] 已知数列 满足 ， . （1）求证：数列 为等比数列； 【证明】由题设可得 ，所以 . 又 ,所以 是以 为首项， 为公比的等比数列. 题型1 数列与函数、不等式的综合 9 （2）若 ，求满足条件的最大整数 . 【解】由（1）可得 ， 即 ，所以 ， 显然等号右边的 是递增的， 易知，当 时， ， 时， 不满足题意，所以满足条件的最大整数是2 022. 题型1 数列与函数、不等式的综合 10 5.（多选）[辽宁六校协作体2023高二期中] 已知一个正方体 ，一只蚂蚁从上 底面 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个相邻顶点，算一次爬行，若它选择三 个方向爬行的概率相等，且蚂蚁爬行 次，仍然在上底面的概率为 ，则下列说法正确的是 ( ) AC A. B. C. D. 题型2 数列与概率的综合 11 解析 由题意得 , ，所以A正确. 蚂蚁爬行 次，仍然在上底面的概率为 ，则它的前一步只有两种情况： ①本来就在上底面，再爬行一次要想不在下底面，只有两条路，其概率为 ； ②本来在下底面的概率为 ，再爬行一次到上底面的概率应为 . 所以 ，整理得 ，即 ， 所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ，所以 ， 题型2 数列与概率的综合 12 所以 ，所以B,D不正确. 因为数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ，所以C正确. 故选 . 题型2 数列与概率的综合 13 6.[全国新课标Ⅰ2023·21，12分] 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中则 此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ， 乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5. （1）求第2次投篮的人是乙的概率; 【解】第2次投篮的人是乙分两种情况： 第1次投篮的人是甲且投篮未命中，其概率为 ； 第1次投篮的人是乙且投篮命中，其概率为 ， 所以第2 次投篮的人是乙的概率为 . 题型2 数列与概率的综合 14 （2）求第 次投篮的人是甲的概率; [答案] 设第 次投篮的人是甲为事件 ， 则 ， ， 所以 ， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 所以 ， 所以 , . 题型2 数列与概率的综合 15 （3）已知：若随机变量 服从两点分布,且 , ,2, , ,则 .记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ,求 . 题型2 数列与概率的综合 16 [答案] 由（2）知，第 次投篮的人是甲的概率为 , ， 第 次投篮的人是甲记为 ，否则记为 ，则 服从两点分布，且 ， 由题意知 . 题型2 数列与概率的综合 17 $$