6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数的求导法则，通过油轮泄漏油膜面积随时间变化的实际问题导入，连接面积与半径、半径与时间的函数关系，搭建从具体问题到复合函数概念的学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于采用“思考-提示-知识梳理-即时练-感悟提升”螺旋式结构，结合油膜问题、sin2x求导等实例，培养学生用数学眼光抽象问题、用数学思维分步推理的能力，课堂小结明确求导步骤与注意事项，助力学生掌握方法，教师教学更具针对性与高效性。

第2课时　简单复合函数的求导法则 1 新课导入 学习目标 　　海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)与油膜的半径r(单位：m)的函数解析式为S＝f(r)＝πr2.油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为r＝φ(t)＝2t＋1.油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少呢？要解决这个问题就要学习本节复合函数的导数． 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　复合函数的概念 思考　我们常说y＝sin x为“正弦函数”，而y＝sin 2x为“正弦型函数”，那么y＝sin 2x是由哪些初等函数构成的？ 提示：记u＝2x，则y＝sin 2x可以看作正弦函数y＝sin u和u＝2x两个初等函数以一种“嵌套”的方式组成． 返回导航 [知识梳理] 一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 ________，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝________为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为________． x的函数 f(g(x)) 中间变量 返回导航 √ √ √ 解析：A不是复合函数；B，C，D都是复合函数． 返回导航 解：(1)对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5，u＝a＋bx. (3)对于y＝3log2(x2－2x＋3)，可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3. 返回导航 划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项 (1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数． (2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系． (3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内． 返回导航 二　复合函数的求导法则 思考　如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝sin 2x＝2sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知，y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是y＝sin u，它的导数y′u＝cos u，内层函数是u＝2x，它的导数u′x＝2，发现y′x＝y′u·u′x. 返回导航 [知识梳理] 一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝____________，也可表示为y′x＝________． 点拨　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． f′(g(x))g′(x) y′uu′x 返回导航 (2)设u＝sin x，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x. 返回导航 返回导航 求复合函数的导数的步骤 返回导航 [跟踪训练1] 求下列函数的导数． (1)y＝cos (1＋x2)； (2)y＝ln (2x2＋x). 解：(1)设u＝1＋x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2). 返回导航 √ 返回导航 返回导航 则曲线上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为0，故m＝－12舍去．经检验实数m的值为8. 返回导航 利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程． 返回导航 [跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 22 √ 1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．e 解析：由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C. 返回导航 √ √ 返回导航 返回导航 返回导航 4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x). (1)求f(x)的导数； 返回导航 返回导航 1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则． 2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导． 3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导． 返回导航 $