专题1 利用递推公式求通项公式-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第三册 RJB 1 1 专题1 利用递推公式求通项公式 刷难关 2 1.在数列 中， .若 ， ，则 的值为( ) B A.9 B.10 C.11 D.12 题型1 累加法 3 解析 由 ，得 ，所以 , ， ， ，所以 ，又 ，所以 ，又 也满足该式，所以 . 由 ，解得 （负舍）.故选B. 题型1 累加法 4 【归纳总结】形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造: 将上述 个式子两边分别相加,可得 . （1）若 是关于 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; （2）若 是关于 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; （3）若 是关于 的二次函数,累加后可分组求和; （4）若 是关于 的分式函数,累加后可裂项求和. 题型1 累加法 5 2.数列 满足 ，且 ，则 ( ) B A.19 B.20 C.21 D.22 题型1 累加法 6 解析 根据题意，数列 满足 ，且 ，即 ，变形可得 ，则有 ，则 ，故 ，故选B. 题型1 累加法 7 3.[重庆育才中学2023高二月考] 已知 ， ，则数列 的通项公式是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 累乘法 8 解析 由 ，得 ，即 ，则当 时， ， ， ， ， ，由累乘法可得 ，因为 ，所以 ，又 也满足上式，所以 .故选C. 题型2 累乘法 9 【归纳总结】形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可 构造: 将上述 个式子两边分别相乘,可得 . 题型2 累乘法 10 4.已知数列 满足 ， ，则数列 的通项公式是 ( ) C A. B. C. D. 题型2 累乘法 11 解析 , , 当 时， ，当 时， 也符合上述通项公式, .故选C. 题型2 累乘法 12 5.已知数列 的前 项和为 .若 ， ，则 ( ) D A. B. C. D. 题型3 利用与的关系 13 解析 由 ，得 ，所以 ，又因为 ，所以 为等比数列，其中首项为1，公比为3，则 ,所以 .故选D. 题型3 利用与的关系 14 6.（多选）[山东青岛2023高二期末] 数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列 说法正确的是( ) BCD A.数列 是递增数列 B. C.当 时， D.当 或4时， 取得最大值 题型3 利用与的关系 15 解析 数列 的前 项和 ，当 时， ，而 满足上式，所以 ，B正确； 数列 是公差为 的等差数列，是单调递减的，A不正确； 当 时， ，C正确； 当 时， ，即数列 前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，因此当 或4时， 取得最大值，D正确.故选 . 题型3 利用与的关系 16 【规律方法】已知 与 的关系或 与 的关系式求 时，可利用 代换、变形求出 ,注意验证 是否满足 . 题型3 利用与的关系 17 7.[河北承德2023高二月考] 已知数列 中， 且 ，则 ( ) A A. B. C. D. 题型4 倒数法 18 解析 由 得 ，又 ， 数列 是以1为首项， 为公差的等差数列， ， ， .故选A. 题型4 倒数法 19 【归纳总结】形如 为常数且 , 的递推式,两边同时除以 ,转化为 的形式，求出 的表达式,再求 ;还有形如 的递推式, 也可采用取倒数的方法转化成 形式,求出 的表达式,再求 . 题型4 倒数法 20 8.设数列 的前 项和为 ，若其满足 ，且 ，则 _ _______________. 解析 由 ，得 , 是以 为首项，1为公差的等差数列， ， . 当 时， ， 题型4 倒数法 21 9.[江西景德镇一中2023高二期中] 已知数列 中， ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 题型5 构造法 22 解析 由 ，可得 ，而 ，因此数列 是首项为 ，公比为4的等比数列，则 ，即 ，所以 .故选C. 题型5 构造法 23 【归纳总结】类型一：形如 且 型的递推式,数列 为线性递推数 列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求. 设 ,展