第五章 专题课1 数列的通项公式-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册随堂练习（人教B版）

专题课 1　 数列的通项公式 1. 在数列{an}中, a1 = 2, 2an+1 -2an = 1, 则 a101 的值为 (　 　 ) A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 2. 在数列{an}中, a1 = 2, an+1 =an+n+1, 则 an = 　 　 　 　 . 3. 在数列{an}中, 若 a1 = 3 5 , an+1 = an 2an+1 , 则 an = 　 　 　 　 . 4. 在数列{an}中, 若 a1 = 2, an+1 = 3an-2, 则 an = 　 　 　 　 . 5. 黑、 白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若 干个图案: 第 5 题图 则第 n 个图案中的白色地面砖有 (　 　 ) A. 4n-2 块 B. 4n+2 块 C. 3n+3 块 D. 3n-3 块 31 6. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 2n-an, 求数列{an}的通项 公式. 41 (2) 将 an+1 = 2an+3·2n 两边同时除以 2n +1 , 得 an+1 2n+1 = an 2n + 3 2 , 则 an+1 2n+1 - an 2n = 3 2 . 又 a1 21 = 2 2 = 1, 故数列 an 2n{ } 是以 1 为首项, 3 2 为公差的等差数列. 由等差数列的通项公式, 得 an 2n = 1+ 3 2 (n-1)= 3 2 n- 1 2 , ∴ 数列{an}的通项公式为 an = (3n-1)2n -1 . 变式训练 7　 D　 【解析】 由 an+1 = an an+1 , 得 1 an+1 = an+1 an = 1 an + 1, 即 1 an+1 - 1 an = 1. 又∵ a1 = 1 2 , 则 1 a1 = 2, ∴ 数列 1 an{ } 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, ∴ 1 a2 018 = 2+(2 018-1)×1= 2 019, ∴ a2 018 = 1 2 019 . 故选 D. 1. D　 【解析】 在数列{an}中, a1 = 2, 由 2an+1 - 2an = 1, 得 an+1 -an = 1 2 , ∴ 数列{an }是首项为 2, 公差为 1 2 的等 差数列, ∴ a101 = 2+100× 1 2 = 52. 故选 D. 2. n 2 +n+2 2 　 【解析】 ∵ an+1 -an =n+1, ∴ 当 n≥2 时, an-an-1 = n, …, a4 -a3 = 4, a3 -a2 = 3, a2 -a1 = 2, ∴ a2 -a1 +a3 -a2 +a4 -a3 +…+an -an-1 = 2+3+4+…+n, ∴ an-a1 = (n-1)(n+2) 2 , an = n2+n+2 2 , 经检验 n=1 时符合上式. 3. 3 6n-1 　 【解析】 ∵ an+1 = an 2an+1 , ∴ 1 an+1 = 1 an +2, ∴ 1 an{ } 是以 5 3 为首项, 2 为公差的等差数列, ∴ 1 an = 6n-1 3 , ∴ an = 3 6n-1 . 4. 3n-1+1　 【解析】 ∵ an+1 =3an-2, ∴ an+1-1=3(an-1), ∴ {an-1}是以 1 为首项, 3 为公比的等比数列, ∴ an-1 = 3n -1 , ∴ an = 3n -1 +1. 5. B　 【解析】 第一个图案有白色地面砖 6 块, 第二个 图案有白色地面砖 10 块, 第三个图案有白色地面砖 14 块, 设第 n 个图案中有白色地面砖 an 块, 用数列{an}表示, 则 a1 = 6, a2 = 10, a3 = 14, 可知 a2 -a1 = a3 -a2 = … = 4, ∴ 数列 {an}是以 6 为首项, 4 为公差的等差数列, ∴ an = 6+4(n-1) = 4n+2, 故选 B. 6. 解: 当 n= 1 时, a1 = 1; 当 n≥2 时, an =Sn-Sn-1 = 2n-an-2(n-1) +an-1 , 整理得 an = 1 2 an-1 +1, 构造得 an-2 = 1 2 (an-1 -2), ∴ {an-2}是以-1 为首项, 1 2 为公比的等比数列, ∴ an-2 = - 1 2( ) n-1 , ∴ an = 2- 1 2( ) n-1 , 经检验 n = 1 时 符合上式. 效果评价 1. C　 【解析】 ∵ a6 = S6 -S5 = 6 7 - 5 6 = 1 42 , ∴ 1 a6 = 42. 故选 C. 2. B　 【解析】 ∵ an = anan+1 +an+1 , ∴ 1 an+1 = 1 an + 1, ∴