第2.6节综合训练-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 2.6 2.6 双曲线及其方程 2 2.6 第2.6节综合训练 刷能力 3 1.[山东滨州实验中学2024高二期末] 与曲线共焦点，且与双曲线 共渐近线 的双曲线的方程为( ) A A. B. C. D. 4 解析 曲线为椭圆，焦点在轴上，且 . 因为所求双曲线与双曲线共渐近线，所以设所求双曲线为 ，即 ，则，解得，所以所求双曲线方程为 .故选A. 5 【二级结论】与双曲线共渐近线的双曲线方程为 . 2.[黑龙江哈尔滨第九中学2023高二月考] 为了增强某会议主席台的亮度，且为 了避免主席台就座人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反 射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点 发出的光线的反射光 线的反向延长线经过左焦点.已知双曲线的离心率为，则当与 恰好 相等时， ( ) A A. B. C. D. 7 解析 离心率 ， . 又，则根据双曲线的定义可知， ， . 故选A. 8 3.[重庆八中2024高二期中] 如图所示，双曲线型冷却塔的外形是离心率 为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半 径为，下口半径为，高为 （数据以外壁即冷却塔外侧表面计 算），则冷却塔的最小直径为( ) C A. B. C. D. 9 解析 根据题意，作出冷却塔对应的双曲线，并建立相应的平面直角坐标系， 如图所示,设双曲线方程为 ， 因为冷却塔的上口半径为，下口半径为，高为 ， 所以设双曲线上的点,，且 ， 将A,B的坐标代入双曲线方程可得 两式相减得 . 因为双曲线的离心率为3，所以，所以 ， 10 代入①式可得，得，所以 ， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得 . 所以冷却塔的最小直径为 ， 故选C. 4.[重庆育才中学2024高二期中] 已知，为双曲线 的两 个焦点，为双曲线上一点，且 ,则此双曲线离心率的取值范围为( ) C A. B. C. D. 12 解析 设，， ，由，可得 ， 显然，整理可得 . 由 ， 得 ， 解得.由双曲线的定义可知 ， 则有，整理可得 ， 化简可得，因为 ，且 ， 所以，可得或 ，所以 或，所以 ， 解得 .故选C. 13 5.（多选）已知,是椭圆和双曲线 的公共 焦点，是它们的一个公共点，且 ，则以下结论正确的是( ) BD A. B. C. D.的最小值为 14 解析 由题意可得 ，故A错误. 可设是第一象限的点，，，由椭圆及双曲线的定义可得 ， ，解得， . 因为，在 中， 由余弦定理可得 ， 整理可得 . 又，则 ，故B正确. 由，可得，即有 ，故C错误. ，当且仅当 时， 取得等号，即有的最小值为 ，故D正确. 故选 . 15 6.已知是双曲线的右焦点，是双曲线左支上的一点，且点的坐标为 , 则 的周长的最小值为____. 32 16 解析 如图,设双曲线的左焦点为,连接 . 由双曲线方程可知,,故, . 当点在双曲线左支上运动时,由双曲线定义可知 ,所以 ,从而 的周长为 . 因为为定值,所以当最小时, 的周 长最小. 由图可知,当最小时，点为线段与双曲线的交点，且 ， 所以 周长的最小值为32. 17 7.[2023全国高中数学联赛重庆预赛] 双曲线的左、右焦点分别为,, 是双曲线上一 点.若的内切圆圆心为,则 外接圆的半径为___. 18 解析 如图,设内切圆圆心为,连接,,记 , , 由点的横坐标为3可得,又,可得 , 则, , 则 . 于是，则,则,设外接圆的半径为 ， 则, . 19 【二级结论】在双曲线中，点是右支上一点，则焦点三角形 的内 切圆圆心在过右顶点且与轴垂直的直线上，即 . $$