1.2.4 二面角-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.4 二面角 刷基础 3 1.如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小 关系是( ) C A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定 题型1 定义法求二面角 4 解析 当一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面时，有两种情况，如图 ①②，则这两个二面角相等或互补. 图① 图② 题型1 定义法求二面角 5 2.已知和均为边长为的等边三角形，且，则二面角 的大小为 ( ) C A. B. C. D. 题型1 定义法求二面角 6 解析 如图，取的中点，连接， . 由题意得，，且,是二面角 的 平面角. 又， ，即二面角的大小为 . 题型1 定义法求二面角 7 3.四边形是边长为2的正方形，和都与平面垂直，且 ，则平面 与平面 所成角的余弦值为________. 或 题型1 定义法求二面角 8 解析 在平面上的射影为，易得.设平面与平面 所成角的 大小为 . 当,在平面同侧时，， . 当,在平面异侧时，， . 综上，平面与平面所成角的余弦值为或 . 题型1 定义法求二面角 9 【归纳总结】求二面角的几何方法 （1）定义法：在棱上任取一点，过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角， 就是二面角的平面角. （2）利用三垂线定理及其逆定理:过二面角一个面上的一点作另一个面的垂线段,再由垂足向棱作 垂线得到棱上的点（即斜足），斜足与面上这一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，就是二面角 的平面角. （3）面积射影法:（其中表示射影图形的面积， 表示原图形的面积）. 题型1 定义法求二面角 10 4.[辽宁锦州2024高二月考] 已知两平面的法向量分别为， ，则两平面所 成的二面角为( ) C A. B. C. 或 D. 题型2 向量法求二面角 11 解析 设两平面所成的二面角的平面角为 ，则, . , 或 .故选C. 题型2 向量法求二面角 12 5.如图所示，在四面体中， 平面， ，那么二 面角 的余弦值为( ) C A. B. C. D. 题型2 向量法求二面角 13 解析 如图所示，过点B作于点D，过点C作于点 . 设，则易得，，，所以， . ， ， ， ， . 又二面角 为锐二面角， 故二面角的余弦值为 . 题型2 向量法求二面角 14 【归纳总结】求二面角的向量方法 （1）找与公共的棱垂直的方向向量法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起 点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 （2）法向量法：首先求出两个平面的法向量,,再代入公式（其中, 分别是两 个平面的法向量, 是二面角的平面角）求解（注意通过观察二面角的大小选择“ ”）. 题型2 向量法求二面角 15 6.[福建南平2023高二期中] 在如图所示的六面体中，四边形和 均为直 角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形， ， ，，则平面与平面 所成的锐二面角为( ) B A. B. C. D. 或 题型2 向量法求二面角 16 解析 因为四边形和 均为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四 个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，由题意可知，， 两两垂直， 则以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，则， .根据 题意可知 平面，所以即为平面 的一个法向量. 设为平面的法向量，则取，则 ， ，则为平面的一个法向量，则 , . 由图可知平面与平面所成的角为锐角，所以平面与平面 所成的锐二面角 为 ，故选B. 题型2 向量法求二面角 17 【多种解法一】 四边形与四边形均属直角梯形，,,, 是 直角顶点，其他面均是矩形， 这个六面体是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直， 平面 . 延长，交于点，延长,交于点，连接 . 由题意知，平面 . 又 平面 平面， . 平面,,,为平面 与平面 所成的锐二面角的平面角. ，，即， . , ,即平面与平面所成的锐二面角为 . 题型2 向量法求二面角 18 【多种解法二】 四边形与四边形均属直角梯形，,,, 是直角顶点，其他面均是 矩形， 这个六面体是四棱柱. 由题意可知,,两两垂直， 平面 . 同理，，都垂直于平面， 矩形是矩形在平面 上的射影. 设平面与平面所成的锐二面角为 ，则 ， . 题型2 向量法求二面角 19 【名师点拨】面面角与二面角有关但不同，两平面相交形成的四个二面角中的锐 二面角称为面面角，所以两者的取值范围不同，平面与平面的夹角的取值范围为 ,二面角的取值范围为 ，故面面角的余弦值为正值，法向量夹