1.2.3 直线与平面的夹角-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册同步课件 (人教B版2019)

数学 选择性必修 第一册 RJB 1 1.2 1.2 空间向量在立体几何中的应用 2 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角 刷基础 3 1.正三棱锥 的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角的正切值是( ) B A. B. C. D. 题型1 定义法求直线与平面的夹角 4 解析 设正三棱锥的底面正三角形的中心为，棱长为,则就是侧棱 与底面 所成的角，计算得 . 题型1 定义法求直线与平面的夹角 5 2.（多选）[贵州凯里一中2023高二月考] 在正方体 中，下列说法正确的是 ( ) ABD A. B. C.与平面所成的角为 D.与平面所成的角为 题型1 定义法求直线与平面的夹角 6 图① 解析 对A选项，连接，如图①，,， , ,,， 四边形 为平行四边形， ， ，故A正确. 对B选项,由题可得 平面，.又，, 平面, 平面，又 平面， ，故B正 确. 题型1 定义法求直线与平面的夹角 7 图② 对C选项，连接，交于点，连接 ，如图②. 底面， 平面，， , , 平面， 平面 . 与平面所成的角为.设正方体的棱长为1，则 ， ，.， ，故C错误. 对D选项， 底面，与平面所成的角为.易知 为等腰直角三 角形，，故D正确.故选 . 题型1 定义法求直线与平面的夹角 8 3.直线与平面 所成的角是 ，若直线在 内的射影与 内的直线所成的角是 ，则 与 所成的角是( ) C A. B. C. D. 题型2 公式的应用 9 解析 由题意， ， .由，得， .故选C. 题型2 公式的应用 10 4.[辽宁省实验中学2024高二期中] 已知,,是从点 出发的三条射线，每两条射线的夹角均 为 ，那么直线与平面 所成角的余弦值是( ) B A. B. C. D. 题型2 公式的应用 11 解析 如图，设直线在平面的射影为 ， 作于点，于点，连接 ， 易得，又,, 平面，则 平面 ，又 平面，则 ， 则有 故 . 已知 ,易得 ， 故，又即为直线与平面 所成的角，故所求角的余 弦值为 .故选B. 题型2 公式的应用 12 【多种解法】如图所示，把,,放在正方体中，,,的夹角均为 . 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则,,, ， 所以,, ， 设平面的法向量为，则 令，则,，所以 ， 所以, . 设直线与平面所成角为 ，则, ， 所以 .故选B. 题型2 公式的应用 13 5.[河南商丘二中2024高二月考] 在正方体中，直线与平面 所成角的 正弦值为( ) D A. B. C. D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 14 解析 设正方体 的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， , . 设平面的法向量为 ， 则得平面的一个法向量为 . 设直线与平面所成的角为 ， 则 .故选D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 15 6.[山东聊城一中2024高二开学考试] 在直三棱柱中， 为等边三角形， ，是的中点，则与平面 所成角的正弦值为( ) B A. B. C. D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 16 解析 如图所示，取的中点D，连接,，以D为原点，,, 所在直 线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则,，, ,所以 ，,.设平面 的法向量为 ，则即取，则， ，所 以 . 设与平面所成角为 ，向量与所成的角为 ，所以 ，即与平面所成角的正弦值为 .故选B. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 17 【归纳总结】求直线与平面所成角的方法 （1）定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，利用解三角形的知识求角. （2）向量法：,（其中为直线的方向向量，为平面 的法向 量， 为直线与平面 所成的角），进一步，可根据确定角 的大小. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 18 7.[山东济宁2024高二期中] 如图，在正四棱锥中，为顶点 在底面 内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面 的夹角是 ( ) C A. B. C. D. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 19 解析 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所 在直线为轴，建立空间直角坐标系 . 设 ， 则，，，，，0， ， 则，，，， . 设平面的法向量为 ， 则， ， 可取 . 设直线与平面的夹角为 ， 则,，又 ， . 故选C. 题型3 用空间向量求直线与平面的夹角 20 8.[浙江杭师大附中2024高二期中] 如图，在三棱锥中， 平面 ， 点，分别是