第13.3节综合训练-【高中必刷题】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册同步课件 (苏教版2019)

数学 必修第二册 SJ 1 13.3 13.3 空间图形的表面积和体积 2 13.3 第13.3节综合训练 刷能力 3 1.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 相等，则下列结论错误的是 ( ) C A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为 C.圆柱的侧面积与球的表面积不相等 D.圆柱、圆锥、球的体积之比为 4 解析 由题意可知，圆柱的底面半径为 ，高为 ，圆锥的底面半径为 ，高为 . 对于A选项，圆柱的侧面积为 ，A正确； 对于B选项，圆锥的母线长为 ，所以圆锥的侧面积为 ，B 正确； 对于C选项，球的表面积为 ，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C错误； 对于D选项，圆柱的体积为 ，圆锥的体积为 ， 球的体积为 ，因此圆柱、圆锥、球的体积之比为 ，D正确.故选C. 5 2.若圆锥的轴截面是一个顶角为 ，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截 面面积的最大值为( ) D A. B.1 C. D.2 6 解析 由题意得，圆锥的母线长 ，设过圆锥顶点的截面三角形的顶角为 ，则 ，所以截面面积 ，当 时， .故选D． 7 【规律方法】求过圆锥顶点的截面面积的最大值时，当轴截面顶角为钝角时，由三角形面积公式 为圆锥的母线长， 为过圆锥顶点的截面三角形的顶角 可知，当 时，面积最大；当轴截面顶角为直角或者锐角时，截面为轴截面时，面积最大. 8 3.将两个棱长为 的正方体熔化后铸成一个底面边长为 的正四棱柱，则该正四棱柱的 高为( ) B A. B. C. D. 9 解析 设该正四棱柱的高为 .根据题意，得 ，解得 . 10 4.[重庆八中2023高一期末] 如图，正四面体 的棱长为2，在 上 有一动点 ，过 作平行于底面 的截面，以该截面为底面向下挖去一 个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为( ) A A. B. C. D. 11 解析 如图，设正三棱柱为 ，其上、下底面的中心分别为 , , 由于 为正三角形,故 也为其中心. 设正三棱柱的底面正三角形的边长为 ,则 ， 由题意可知 为正三角形，故 ， . 又 ， , 故 ， 正三棱柱 的高 ， 故该正三棱柱侧面积 . 当 时， 取到最大值1， 故 的最大值为 ，故选A. 12 5.[天津十二区县重点学校2022联考] 已知三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，且 ， , ，则此三棱锥的外接球的体积为( ) B A. B. C. D. 13 解析 ， ， ， ， ， ， 解得 ， ， ，将三棱锥 补形为长方体，如图. 则长方体的外接球同时也是三棱锥 的外接球． 长方体的对角线长为 ， 外接球半径 ， 三棱锥 外接球的体积是 .故选B． 14 【规律方法】补形法是求棱锥外接球相关问题常用的方法之一，正四面体、四个面都是直角三角形的三棱锥，同一个顶点上的三条棱两两垂直的三棱锥、相对的棱相等的三棱锥都可以补成正方体或者长方体，进而求解. 15 6.祖暅是南北朝时期的伟大数学家，他于5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同， 则积不容异”,意思是：夹在两个平行平面之间的两个空间图形，被平行于这两个平面的任意平面 所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个空间图形的体积相等．现有以下四个空间 图形：图①是从圆柱中挖去一个同底等高的圆锥所得的空间图形，图②、图③、图④分别是圆锥、 圆台和半球，则满足祖暅原理的两个空间图形为( ) ① ② ③ ④ D A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 16 解析 设截面与（下）底面的距离为 ，则①中截面内圆半径为 ，则截面圆环的面积为 ; ②中截面圆的半径为 ，则截面圆的面积为 ; ③中截面圆的半径为 ，则截面圆的面积为 ; ④中截面圆的半径为 ，则截面圆的面积为 . 所以①④中截面的面积相等.又①中空间图形的高与④中半球的半径相等，所以①④满足祖暅原理.故选D． 17 7.如图，在直三棱柱 中， , 分别为 , 的中点，将此三棱 柱沿 , , 截去一个棱锥 ，则棱锥 的体积与剩下 空间图形的体积的比值是( ) C A. B. C. D. 18 解析 , 分别为 , 的中点， ， ， ， . ， ，则剩下空 间图形的体积为 ，