第3章 图形的相似 全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（湘教版）
2024-09-13
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教辅
内容正文：
数 学
九年级上册 XJ
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2
3
第3章 图形的相似
4
全章综合训练
5
刷中考
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中考
考点1 比例的性质与成比例线段
1.【2023江苏常州中考】小明按照以下步骤画线段 的三等分点：
画法 图形
（1）以 为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段，， ，
连接 ；
（3）过点，分别画的平行线，交线段于点 ，
，就是线段 的三等分点 ________________________________________
这一画图过程体现的数学依据是( )
A.两直线平行，同位角相等
B.两条平行线之间的距离处处相等
C.垂直于同一条直线的两条直线平行
D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D
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【解析】， ，
， 这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所
截，所得的对应线段成比例.故选D.
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2.【2023浙江丽水中考改编】小慧同学在学习了九年级上册“3.1比例线段”3节
课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感
受这种特殊化的学习过程.
（第3题图）
【解】 2
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【解析】 当时，.理由如下：，， ，
，，， .故答案为2.
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考点2 相似三角形的判定与性质
3.【2023江苏徐州中考】如图，在中， ， ， ，
为的中点.若点在边上，且，则 的长为( )
D
A.1 B.2 C.1或 D.1或2
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【解析】在中， ， ，， ，
， 点D是的中点，.， .如图
（1），当 时,，， ，
，.如图（2），当 时，取的中点 ，连接
点D是的中点，点是的中点，， ，
，， ， ，
.故选D.
图（1）
图（2）
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易错警示
由和不能直接得到
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（第4题图）
4.【2023浙江绍兴中考】如图，在中，是边 上的点
（不与点，重合）.过点作交于点；过点 作
交于点，是线段上的点，； 是线
段上的点，.若已知 的面积，则一定能求
出( )
D
A.的面积 B.的面积 C.的面积 D. 的面积
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【解析】
如图所示，连接，，， ，
，，，， .
，，，，， .又
，， ，
，， ，
， .故选D.
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思路分析
连接，证明，得出，由已知得出，则 .
由已知得出，则，进而得出 ，可
得，结合题意得出 ，即可求解.
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5.【2023湖南常德中考】如图（1），在中， ， ，
，是上一点，且，过点作交于，将绕 点
顺时针旋转到图（2）的位置，则图（2）中 的值为__.
图（1）
图（2）
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【解析】 ，， ，
.在题图（1）中，，.
将绕点顺时针旋转到题图（2）的位置， ，
，.故答案为 .
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（第6题图）
6.【2023广东中考】边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，
它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为____.
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【解析】 如图.由题意可知 ,
, , ,
， ,
, ,
,, ,
,, .故答案为15.
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（第7题图）
7.【2023山东日照中考】如图，矩形中， ，
，点在对角线上，过点作，交边，
于点，，过点作交于点，连接， ，
.下列结论：；②四边形 的面积不变；③
当时，； 的最小值
是20.其中所有正确结论的序号是________.
②③④
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图（1）
【解析】 ， 要使，需满足 ，
而不一定是 的中点，故①错误.
②如图（1）,延长交于.在矩形 中，
， ，
，
， ， ，
即，解得，， 四边形 的面积为
，故②正确 ，
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，， ，
，
， .
， ，故③正确
， 当最小时，
的值最小.分别作，关于，的对称点，，连接, ,如图（2）.
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图（2）
图（3）
把图（2）中的移到图（3）中的处，使得与重合，易知
与图（1）中的等长，均为，.连接，则 就是
的最小值.， 的最小值是
，故④正确.故答案为②③④.
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思路分析
①根据垂直平分线的定义及性质进行判断；②先根据勾股定理求出 的长，再根
据相似三角形的判定和性质求出的长，再根据四边形 的面积等于对角线
乘积的一半求出面积；③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；④先
根据轴对称确定最小值，再根据勾股定理求解．
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8.【2023湖南邵阳中考】如图，，，点 是线
段上的一点，且.已知，， .
（1）证明： .
【证明】，，， ，
， ，， .
（2）求线段 的长.
【解】， ，
， .
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9.【2023黑龙江龙东地区中考】如图（1），和 是等边三角形，连接
，点，，分别是，和的中点，连接，.易证： .
若和都是等腰直角三角形，且 ，如图（2）；
若和都是等腰三角形，且 ，如图（3），其
他条件不变，判断和 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图（2）或图
（3）进行证明.
图（1）
图（2）
图（3）
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图（1）
【解】题图（2）中， ,证明如下：
如图（1）,连接，，和 都是等腰直角三角
形，且 ，，分别是， 的中点，
，，， ，
，，易得 ，
，， .
点，分别是，的中点，， .
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图（2）
题图（3）中， ,证明如下：
如图（2）,连接，， .
和 都是等腰三角形，且
，
.
点，分别是，的中点，， ，
，， ，
，， .
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点，分别是，的中点，， . （任选一种证明过
程解答即可）
易错警示
注意本题先根据题图（2）和题图（3）写出猜想的结论，再选择其中一个图进行证明.
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考点3 位似
（第10题图）
10.【2023辽宁阜新中考】如图，和是以点 为
位似中心的位似图形，位似比为，则和 的
面积比是_____.
【解析】 与是以点 为位似中心的位似图形，
位似比为，与的面积之比为 .故答案为
.
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（第11题图）
11.【2023湖南怀化中考】在平面直角坐标系中， 为等
边三角形，点的坐标为.把 按如图所示的方式放置，
并将进行变换：第一次变换将绕着原点 顺时针
旋转 ，同时边长扩大为边长的2倍，得到 ；
第二次旋转将绕着原点顺时针旋转 ，同时边长
扩大为边长的2倍，得到， .依次类推，得
到，则 的边长为_______，点
的坐标为_____________________.
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【解析】 由题意得，， ，
， ，， 的边长为
， 点 在第四象限，坐标为
.故答案为， .
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考点4 相似三角形的应用
12. 跨学科综合【2023四川南充中考】如图，数学
活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平
放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在
同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已
B
A. B. C. D.
知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为 ，镜子
与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为( )
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【解析】如图，由题意得，，，. ，
， . 由题意得 ，
，，即， ，故选B.
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章测
一、选择题（本大题共18分，每小题3分）
1.四条线段的长度分别如下，其中是成比例线段的一组是( )
C
A.1，2，2，3 B.1，2，3，4 C.1，2，2，4 D.3，5，9，11
【解析】， 长度分别为1，2，2，4的线段是成比例线段．故选C．
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（第2题图）
2.【2023广东广州黄埔区期末】如图是某商店售卖的花架简图，其
中，，， ，则
长为( )
D
A. B. C. D.
【解析】，，即， ，即
的长是 .故选D.
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（第3题图）
3.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着
“黄金分割”.如图，为的黄金分割点，若 的长
度为，则 的长度为( )
A
A. B.
C. D.
【解析】设，则. 点为线段 的黄金分割点,
,即,解得, ,
,即的长度为 .故选A.
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思路分析
设,则 ,再利用黄金分割的定义列出比例式，从而得到
的长度．
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4.【2023四川遂宁中考】在方格图中，以格点为顶点的三
角形叫作格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中，格
点， 成位似关系，则位似中心的坐标为
( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图，与的对应顶点的连线相交于点 ，则位似中心
的坐标为 .故选A.
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（第5题图）
5.【2023广东佛山南海区校级调研】如图，四边形 中，
，，，点，分别是边 和对角线
的中点，且与对角线交于点，则 的长为( )
B
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】 点，分别是边和对角线的中点，是 的中位线，
，，，. ，
， 点为的中点，为的中位线， ，
，故选B．
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思路分析
由中点联想到中位线定理，从而得到线段的数量关系和平行，再结合平行线分线
段成比例解出本题.
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（第6题图）
6.【2023浙江宁波北仑区期末】将矩形和矩形 分
割成5块图形（如图中 ），并把这5块图形重新组
合，恰好拼成矩形.若，， ，则
矩形 的面积为( )
C
A.20 B.24 C.30 D.45
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【解析】由题意知， ，
，
， ，
,，.设 ，
则 ，， ，
，即，解得（负值已舍去）， ，
，
.故
选C.
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关键点拨
由题意得出边、角关系，利用“”证出 ,再利用两角分别相等
的两个三角形相似证出 是解题的关键.
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二、填空题（本大题共20分，每小题4分）
7.如图，从点发出一束光，经轴反射后，过点，则这束光从点 到
点 所经过的路径的长为_____.
（第7题图）
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【解析】 如图，过点作轴于点，， ，
，.根据题意得 ，
，，， ，
，， ，
.
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（第8题图）
8. 【2024湖南怀化期中】如图，在平面直角坐标系
中，点，，已知点 在反比例函数
的图象上，以点为位似中心，在 的上方
将线段放大为原来的倍得到线段 .
（1） 的值为_____；
【解析】 把代入得,故答案为 .
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（2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则 的最大值
为____.
【解析】 以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的 倍得到线
段，.当点落在反比例函数 的图象上
时，的值最大，，解得，（舍去）， 的最
大值为.故答案为 .
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9.【2023湖南益阳调研】如图，和是以点 为位似中心的位似图形.
若，则与 的周长比是_____.
【解析】 和是以点为位似中心的位似图形，和 的
位似比为，，与 的周长比是
.故答案为 .
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10.【2023湖南长沙期中】如图（1），在中， ，动点从点 出
发，沿折线匀速运动至点停止.若点的运动速度为，设点 的
运动时间为，的长度为，与的函数图象如图（2）所示.当 恰好平
分时， 的值为_________.
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【解析】
如图，连接，由题图（2）可得. ， ，
平分， ，
，，， ，
，，，
（负值已舍去），, .
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识图解题 由函数图象获取信息
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11.如图，已知是等边三角形，点，，分别是，， 边上的点，
， .
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（1）若，则 ___；
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【解析】 如图（1）,作交于 是等边三角形，
,
， ， 是
等边三角形，，， ，
， ，
，
，， ，
.
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（2）若，则 _ __________.
或
【解析】 如图（2）,作交于，同（1）可得 是
等边三角形，, ,
，
，
，，
，， ，化简得
，解得， ，经检验，
，是原方程的解，或 .
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三、解答题（本大题共62分）
12.【2024湖南长沙雨花区校级调研】如图，
在方格纸中.
（1）已知，，请写出 点坐标；
【解】由题意可得 .
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（2）以原点为位似中心，位似比为2，在第一象限内将 放大，画出放大后
的图形 .
【解】 如图所示， 即为所求.
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13.【2023湖南怀化期中】如图，，，是 上
一点，使得 .
（1）求证： ；
【证明】，， ，
.
， ，
， ，
.
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（2）若，，求 的长；
【解】在中，，， ，
.
由（1）得 ，
，， .
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（3）当时，请写出线段,, 之间的数量关系，并说明理由.
【解】.理由：过作于 .
， .
， .
， ，
.同理可得 ，
， .
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14. .
问题提出
如图（1），在和中， ，， ，
点在内部，直线与交于点．线段，， 之间存在怎样的数
量关系？
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问题探究（1） 先将问题特殊化，如图（2），当点， 重合时，直接写出一个
等式，表示，， 之间的数量关系；
【解】 .
如题图（2）， ， ，
，，，
点,重合，为等腰直角三角形， ，
则,即 .
思路分析 证明，得，再由 为等腰直角三角
形，得 ，进而求解.
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（2）再探究一般情形，如图（1），当点， 不重合时，证明（1）中的结论仍
然成立．
【解】 如图（1），过点作交于点 .由（1）知，
，
，
.
， ，
.
又，，，， 为等腰
直角三角形，则，则 ，即
.
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问题拓展 如图（3），在和中， ，
，是常数），点在内部，直线与 交于点
．直接写出一个等式，表示线段，， 之间的数量关系．
【解】 .
由（1）知 .
又，，即 ，
，
.
过点作交于点，如图（2）.由（2）知， ，
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，
，
则， .
在中， ，
则，即 ．
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