第3章 大招专题4 相似三角形判定的常考模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（湘教版）

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第3章 图形的相似 4 大招专 题4 相似三角形判定的常考模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招6 A字型 1.【2024北京昌平区期中，中】如图，在中， ， ，点为中点，点在上，当为_____时， 与以点，， 为顶点的三角形相似. 3或 【解析】 为中点，.当 时， ，，；当 时， ，，.综上，或 .故答 案为3或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 关键点拨 先得到，再分与 两种情况讨论即可解答. 大招解读 A字型 正A字型 斜A字型（共角） 斜A字型（共边） ______________________________ 已知： ；结论： ____________________________ 已知： ；结 论： ______________________________ 已知： ；结 论： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 2.［较难］中，， ，过 上一点作，，分别交， 于点， . 易错警示 注意本题（3）中两个三角形未用相似符号连接，所 以需要分情况讨论，不要漏解. （1）如图（1），求证： . 【证明】，，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 （2）如图（1），若四边形是菱形，求 的长. 【解】设 四边形是菱形， ， ， ，，即，解得，即的长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 （3）如图（2），若以，，为顶点的三角形与相似，求 的长. 【解】 设，则，， , 四边形为平行四边形，， . ，, ， 即，则 ， ， . ， 当时，， ，即 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ，解得；当时，，即 ，解得 （舍去）或 . 综上所述，的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 母题学大招7 8字型 3.【2024重庆沙坪坝区调研，中】如图，在边长为 的 菱形中， ，过点作于点 ，现 将沿直线翻折至的位置，与 交于点 ，则 等于_______. 【解析】 在中， ，， ，由勾股定理得， .根据翻折性质可得，.， 易证 ，.设，则，解得 ，故答案 为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 大招解读 8字型 正8字型 斜8字型（蝴蝶型） _______________________________________ 已知： ； 结论： __________________________________ 已知： ； 结论： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 子题练变式 4.【2023安徽六安校级期末，较难】如图，在矩形 中， ，交于点 . 刷有所得 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半. （1）作于点，求证：点是线段 的二等分点； 【证明】 四边形是矩形， 点为的中点， . ，， ， ， ， 点是 的二等分点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （2）连接交于点，作于点，求证：点是线段 的一个三等分点； 【证明】，，是的中位线， ， . ，，，，， . ， . 点是 的一个三等分点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 （3）你能在图中作出线段 的一个四等分点吗？ 【解】能.如图所示，过点作于点，连接交于点，过点 作 于点，则点为 的一个四等分点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 母题学大招8 手拉手型 （第5题图） 5.【2024四川成都双流区质检，较难】如图，在 和 中， ，，为 的中点，，.将绕点旋转，直线， 交于点，连接，则 的最小值是 _________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 【解析】 如图，取的中点，连接， ，则 ，， ， . ， ， ， ， ， ， ， ， ， .又为 的中点， .为的中点，为的中点，， 的最 小值为.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 大招解读 手拉手型 和共顶点 ，通过两边成比例且 夹角相等或利用旋转构造等角来判定三角形相 似.常见模型如下: 思路分析 取的中点，连接， ，则 .由题意可知， ，进而可得，所以 ，根据四边形 内角和可得 ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半可得出的长，根据中位线定理可得 的长，由此可得结论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 子题练变式 6.【2024陕西汉中质检，较难】如图，已知正方形的边长为2，对角线 ， 相交于点.将绕点逆时针旋转得到，当，， 三点共线 时， 的长为 _______________. 或 （第6题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 【解析】 ①当在的上方时，， 是等腰直角 三角形， . ， ， ， ， ， . ，， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 ②当在的下方时，如图所示.同理可证 ， .， ， .， ， ，，， .综上 所述,的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 母题学大招9 一线三等角型 7.［中］如图，正方形边长为4，，分别是， 上 的两个动点，当点在上运动时，保持和 垂直，设 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 大招解读 一线三等角型 如图，已知，，三点共线，且 . （1）点在线段 上: （2）点在线段 的延长线上: 结论： . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 （1）求证： ； 【证明】在正方形中，， ， ， .在 中， ，， . （2）当点运动到什么位置时？求此时 的值. 【解】 ， 要使，必须有 . 由（1）知，， 当点运动到 的中点时， ，此时 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 子题练变式 8.【2023福建福州校级期末，较难】如图，在 中，点，分别在边， 上，连接 ，，且 ． （1）求证： ； 【证明】由题图得 .在 中， ,, , ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 （2）若 ,，当点在上运动（点不与， 重合），且 是等腰三角形时，求 的长． 【解】， ， 是等腰直角三角形， . ， . ①当时， ， ， ， . 点在上运动（点不与， 重 合）, 此情况不符合题意． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 ②当 时，如图（1）， .由（1）易证 ， ， ． ③当时，如图（2）， ， 是等腰直角三角 形. , ，即 ， ． 综上所述， 或1． 关键点拨 当是等腰三角形时，注意分，， 三种 情况进行讨论. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 母题学大招10 射影定理（子母型） 9.［中］如图，在中， ，是斜边 上的高. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 大招解读 射影定理（子母型） 基本模型 结论 _________________________________ 中， 刷有所得 在任意直角三角形中过直角顶点向斜边作垂线，得到的两个小直角三角形都和原 直角三角形相似 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 （1）求证： ； 【证明】， ， .又 ， ， . （2）求证： ； 【证明】 ，，， ，即 . （3）若，，求 的长. 【解】， ， ，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 子题练变式 10.【2024安徽六安调研，较难】如图， 中， ，，点，分别为， 的中点， 于点 . （1）求证： ； 【证明】， ， ， ， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 33 （2）求 的大小； 【解】如图，过点作，交的延长线于 点是 的中点， .又 ，， ， ，，.又 ， ，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 （3）若，求 的面积. 【解】 如图，， ， ，，，. 点，分别是，的中点，，， ， .又，， ， ，.， ， ，，，， 的面积为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 思路分析 通过证明，可得，进而可求，由 可 求，证明，得，可求 ，由三角形面积公式可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 $$