2.2 课时2 垂径定理-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（苏科版）

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 对称图形——圆 4 2.2 圆的对称性 课时2 垂径定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 圆的对称性 1.如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影 部分的面积是____. 【解析】 由圆的对称性，可得阴影部分的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 知识点2 垂径定理 （第2题图） 2.【2023湖北宜昌中考】如图，，，都是 的半径， ，交于点.若，，则 的长为( ) B A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】，.在 中， ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （第3题图） 3.【2023浙江绍兴新昌期末】如图，是的弦， 于点 ，连接,点是半径上任意一点，连接，若 ， ，则 的长不可能是( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】如图，连接 . 于点C，，， ， ， ， ， 的长不可能是9．故选D． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 （第4题图） 4.【2023江苏南京玄武区调研】如图， ，边 上有 一点，，以点为圆心，长为半径作弧交于点 ， 则 的长是( ) C A. B.6 C. D.12 【解析】如图，过点D作于，则， .在 中， ，，， ， .故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.【2023四川自贡质检】一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测 得弦长20厘米，弓形高 为2厘米，则镜面半径为____厘米. （第5题图） 26 【解析】 如图，设点 是玻璃镜面所在圆的圆心，连接 ，，则，，三点共线.由题意可得 ， 厘米.设镜面半径为 厘米.由题意可得 ，， 镜面半径为26厘米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.【2024江苏扬州质检】如图，以点为圆心的圆与 轴交于 ，两点，点的坐标为，点的坐标为，则点 的坐标为______. 【解析】 如图，过点作于点 以点 为圆心的圆 与轴交于，两点， 点的坐标为，点 的坐标为， 点的坐标为，， ， ， 点的坐标为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.【2024江苏无锡期末】为平面上一点，，半径为5，则经过 点的 最短弦长为___. 6 【解析】 ， 点在内.如图，过作 ， 交于，，则线段是过 点的最短的弦，连接 ， 由勾股定理得 ，过圆心 ， ， ，故答案为6. 刷有所得 使用垂径定理常常会得到像 这样的直角三角形，利用题目中关于这个三 角形的边的条件,以及勾股定理,可以求出其他未知量. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 8.【2024江苏常州期中】已知：如图，是的直径，弦 交于点，，， ，则 的长为 ______. 【解析】 如图，过作于，连接 ，则 ， ， ， ， ， ， .，过圆心 ， ，，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.【2024广东广州质检】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 ， 拱高为 . （1）求拱桥的半径. 【解】设圆弧所在圆的圆心为.如图，连接,，.由题意得为 中点， ，,,三点共线.， .设 ，.在 中，根据勾股定理 得，解得， 拱桥的半径为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 （2）有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面 ，则此货船 是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由. 【解】 不能.理由：如图，连接. ，船舱顶部为长方形并高出水面 ，， . 在中，， ， ， 此货船不能顺利通过这座拱桥. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 刷易错 易错点 图形不明确时，考虑不全面导致漏解 10.的半径是13，弦，，，则与 的距离是 ________． 17或7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 【解析】 作于，于，则， .连 接，，，,,三点共线.在 中， .在 中， .如图（1），当圆心在弦与 之间时， 与的距离为；如图（2），当圆心在弦与 的 外部时，与的距离为.综上，与 的距离是17或7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 图（1） 图（2） 易错警示 当图形不明确时,要对弦的位置分类讨论：当圆心在弦与之间时，与 的距离为；当圆心在弦与的外部时，与的距离为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 提升 （第1题图） 1.【2023湖北武汉江夏区质检,中】如图，在中，弦 ， 点在上移动，连接，过点作交于点，则 的最大值为( ) B A.5 B.2.5 C.3 D.2 【解析】连接.设的半径为， , , 当的值最小时，的值最大.当 时，最小，此时D，B两点重合，，即 的最大 值为 ，故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 （第2题图） 2.【2024江苏无锡质检，中】如图， 的半径为4，将劣弧沿弦 翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则 面积的最大值是( ) A A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 【解析】如图，过点作于，交弧于点，连接 , .当点C运动到优弧中点时，C,,三点共线， 中，以 为底，高为，此时的面积最大. 点C运动到优弧 中点，,且 将劣弧沿弦 翻折，恰好经过 圆心，的半径为4，， ， 在中，利用勾股定理得 ， . ， . 故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 关键点拨 当点运动到优弧中点时，中，以为底，高最大，此时 的面积 最大，先求出，再求出 ，最后利用三角形的面积公式求面积即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第3题图） 3.［较难］如图，在平面直角坐标系中， 的圆心坐标是 ，半径为3，函数的图像被截得的弦 的长为，则 的值是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 【解析】过点作轴于点C，交于点D，作 于点 ，连接，如图.的圆心坐标是， ， .把代入得， 点D的坐标为 ， ，为等腰直角三角形， 也为等腰直角 三角形.，.在 中， ， ， ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 4. 【2023浙江杭州拱墅区期末，中】如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的 半径为，瓶内原有液体的最大深度 .部分液体蒸发后，瓶内液体 的最大深度下降为，则截面圆中弦的长减少了__________ （结果保留 根号）. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 【解析】 如图，，设交于，连接 .由题 意得，， ， ， ， ， ， .， ， ， ， ，即截面圆中弦的长减少了 ，故答案 为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 技巧点拨 涉及圆中的弦、半径的相关计算，通常作弦的垂线、连接半径，运用垂径定理和 勾股定理求线段长度. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 （第5题图） 5.【2023江苏南京调研，中】如图，在中，半径垂直弦 于点，为的中点，为上的点，且.若 ， ，则 的半径为___. 【解析】 连接，，延长交于，过作于 ， 如图.设的半径为，， ， ， 四边形是矩形， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 在中， ，① 在中， ，② ，得，解得，即的半径为．故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 6. 【2024湖北黄冈质检，中】如图，在半径为1的 中有三条弦，它们所 对的圆心角分别为 ， ， ,那么以这三条弦长为边长的三角形的面积 是_ __. （第6题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 【解析】 如图，连接，，，，， ，则 ， ， .在 中， .， , 是等 边三角形，.过点作于点 ，则 ， ， ， ， ，. ，即 ， 以，， 为边的三角形为直角三角 形， 其面积为.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 7.［中］如图，，是半径为5的的两条弦， 为直 径，，，于，于 ． 添加辅助线 最短距离问题的解决方法 在直线的同侧有,两个点，在直线上有到点， 的距离之和 最小的点存在.可以通过作点关于直线 的对称点来确定，即作出其中一点关于直 线的对称点，对称点和另一点的连线与直线 的交点就是所要找的点． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 关键点拨 （1）连接，，利用垂径定理和勾股定理求出， ，即可得出答案.（2） 求两线段和的最小值问题，优先考虑找对称点. （1）求 的长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 【解】如图，连接，.，，是直径，于点 ， 于点，， ， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （2）若点在直径上运动，试求 的最小值． 【解】 如图，作于，连接，.由于, 两点关于 对称，因而，则当,, 在同一条直线上 时，的值最小，即的值就是 的最小值. 于，于，, ， 四边形是矩形，， ， .在 中,根据勾股定理得到 ，即的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 36 8.【2024江苏南京鼓楼区调研，中】如图，是 的弦，半 径，垂足为，，交延长线于点 . （1）求证：是 的中点； 【证明】如图，连接.是的弦，半径， 是 的中点，， ， ， ， ， ， ， ，，即为 的中点. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 （2）若，，求 的半径. 【解】如图，连接. 半径，垂足为， ， 是的中点，， ， .设，则.在 中， ，，，即的半径长为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 38 $$