第23章 大招专题6 旋转中的全等模型-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（人教版）

数 学 九年级上册 RJ 1 2 3 第二十三章旋转 4 大招专 题6 旋转中的全等模型 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招6 “手拉手模型” 1.【2024浙江杭州期末，中】图（1）是边长分别为 和 的两个等边三角形纸片和 叠放在一起 （与 重合）组成的图形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 大招解读 手拉手模型 手拉手模型是指两个顶角相等的等腰三角形顶角的顶点重合，左底角顶点互连， 右底角顶点互连所组成的图形. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转 ，连接， ， 如图（2），线段与 之间具有怎样的数量关系？证明你的结论； 【解】.证明：绕点按顺时针方向旋转 , 与是等边三角形， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （2）操作：若将图（1）中的，绕点按顺时针方向任意旋转一个角度 ， 连接，，如图（3），线段与 之间是否仍符合（1）中的结论？若是， 请证明；若不是，请直接写出与 之间的数量关系； 【解】 是.证明：绕点按顺时针方向旋转的角度为 ， . 与是等边三角形，，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （3）根据上面的操作过程，请你猜想当 为多少度时，线段 的长度最大？最大值是多少？当 为多少度时，线段 的长度最小？最小值是多 少？并说明理由. 【解】 当点旋转到的反向延长线上，即 时，线段 的长度最大， 最大值为.当点在边上，即 时，线段 的长度最小，最小值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 子题练变式 正方形共顶点 2.【2024福建福州期中，难】正方形和正方形 的边长分别为3和1，将 正方形绕点 逆时针旋转. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 关键点拨 （3）注意分两种情形：如图（2）中，当，，共线,点在线段 上时;如图 （3）中，当，，共线,点在线段 上时． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （1）当旋转至图（1）位置时，连接，，则线段和 的关系为 ______________________； ， 【解析】 设交于点，交于点 . 四边形、四边形都是正方形， ， ，，， .在 和 中， ，，， . ， ， .故答案为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）连接，，，如图（2）,求在旋转过程中 的面积的最大值； 图（1） 【解】如图（1），连接，，设交于点 . 四边形、四边形都是正方形， ， ，， ， ， ， . 当点在的延长线上时，点到 的距离最大，为 ， 的面积的最大值为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （3）在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，求线段 的长. 图（2） 【解】 如图（2），当在线段上时，连接交于 . 四边形是正方形，， ， ， ， . ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 图（3） 如图（3），当在线段上时，连接交于 . 四边形是正方形，， ， ， ， . ， .综上所述，线段的长为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 母题学大招7 “半角模型” 3.【2024上海闵行区质检，中】如图，正方形中，,分别在边, 上， 且 ，连接 ，这种模型属于“半角模型”中的一类.在解决 “半角模型”问题时，旋转是一种常用的解题方法.例如将绕点 顺时针旋 转 得到,则可以证明“ ”，请写出证明过程. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解】 四边形为正方形，， . 绕点顺时针旋转 得到,， ， ,， , , ,,共线. ， ， ， .在和中 ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 大招解读 半角模型 半角模型特征：①共端点的等线段；②共顶点的倍半角.通过旋转或作辅助线可以 构造全等三角形.常见的半角模型有 角含 角和 角含 角.半角模型 在实际应用中会证两次全等，如图，和 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 子题练变式 含60°的半角模型 4.【2024江苏南京质检，中】已知四边形 中， ，，， ， ，绕 点旋转，它的两边分别交 ，（或它们的延长线）于, . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 思路分析 （2）如图（1），延长到，使，连接 ，根据题意可得 ，则有，，进而可证 ， 推出 ，最后根据线段的等量关系可得结论； （3）如图（2），在上截取，连接，根据题意易得 ， 则有，，进而可证，推出 即可得 出结论． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 （1）当绕点旋转到时（如图（1）），，， 之间的数量 关系为______________. 【解析】 ，， . ，，，， . ， ， ， , ，， 是等边三角形， . 故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （2）当在上，在上，但 （如图（2））时，（1）中结论是否成 立？请说明理由. 图（1） 【解】（1）中结论成立，理由如下：延长到，使 ， 连接 ，如图（1）. ，， .又 , ， ， ， ， ， ， .又, ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （3）当在延长线上，在 延长线上（如图（3））时，（1）中结论是否成立？ 若不成立，线段，， 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想. 图（2） 【解】 （1）中的结论不成立， . 在上截取，连接，如图（2）. ， ， ， ， ， ， ， ， .又 ，， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 母题学大招8 费马点模型 5.【2024江苏南京质检，中】背景材料：在所在平面上求一点 ，使它到三 角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马向意大利物理学家 托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图（1），当 三个内 角均小于 时，费马点在内部，当 时， 取得最小值． 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 大招解读 费马点模型 “费马点”是指到三角形三个顶点距离之和最小的点.主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于 时，通常将其中一个小三角形绕大三角形的 一个顶点旋转 . 例如：将绕点逆时针旋转 ,得到，连接 ,如图（1）,则 为等边三角形，，,即 ,当 ,,,四点共线时取得最小值，为 的长，如图（2）. 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （2）当三角形有一个内角大于或等于 时，费马点就是此内角的顶点. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 （1）如图（1），将绕点顺时针旋转 得到，连接 ，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 ，因此 ，由 __________________可知， 的 最小值与线段 ____的长度相等； 两点之间线段最短 【解析】 由两点之间线段最短可知，的最小值与线段 的长度相 等．故答案为两点之间线段最短， ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （2）如图（2），在直角三角形内部有一动点， ， ，连接，，，若，求 的最小值. 【解】如图，将绕点顺时针旋转 得到 ， 连接，，，作交的延长线于 ． 在中， ， ， ， .由旋转的性质可知 ， ,,, ， 是等边 三角形，， ， 当，，，共线时，的值最小. ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 ，， ， ， ， ， 的最小值为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $$