2 数形结合思想专练-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 数形结合思想专练 一、选择题 1．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 答案　A 解析　如图，令＝a，＝b，＝a＋b，＝c，∵a，b是单位向量，a·b＝0，∴四边形AOBD是边长为1的正方形，||＝.又|c－a－b|＝1，∴点C在以点D为圆心，1为半径的圆上．易知点C与O，D共线时，||取得最值，最大值为＋1，最小值为－1，∴|c|的取值范围是[－1，＋1]． 2．点M为抛物线y＝x2上任意一点，点N为圆x2＋y2－2y＋＝0上任意一点，若函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a>1)的图象恒过定点P，则|MP|＋|MN|的最小值为(　　) A. B. C．3 D. 答案　A 解析　函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a>1)的图象恒过定点(－1，2)，故P(－1，2)．抛物线y＝x2，即x2＝4y，焦点为F(0，1)，准线为l：y＝－1.圆x2＋y2－2y＋＝0，即x2＋(y－1)2＝，圆心为F(0，1)，半径为.如图所示，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，则|MP|＋|MN|≥|MP|＋|MF|－＝|MP|＋|MM′|－≥|PD|－＝3－＝，当P，M，D共线时等号成立．故选A. 3．已知函数f(x)＝2sin－m，x∈有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则m(x1＋2x2＋x3)的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令z＝2x＋，当x∈时，z∈，y＝sinz与y＝的图象如图所示， 由对称性可知z1＋z2＝π，z2＋z3＝3π，∴z1＋2z2＋z3＝4π，又z1＋2z2＋z3＝2x1＋＋4x2＋＋2x3＋＝2(x1＋2x2＋x3)＋，∴x1＋2x2＋x3＝，又∈，故m∈[1，2)，∴m(x1＋2x2＋x3)∈，故选D. 4．已知a，b均为单位向量，且夹角为，若向量c满足(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　将向量a，b，c的起点平移到原点O，设向量2a，b，c的终点分别为A，B，C，则c－2a＝－＝，c－b＝－＝，由(c－2a)·(c－b)＝0得·＝0，得⊥，则点C在以AB为直径的圆上，因为a，b均为单位向量，且夹角为，不妨设a＝(1，0)，b＝，则A(2，0)，B，所以以AB为直径的圆的圆心M，半径为＝，又|MO|＝＝，所以|c|＝|OC|≤|OM|＋＝＋，即|c|的最大值为.故选D. 5．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，若方程f(x)＝1在(0，π]上恰有6个不同的实根，则ω的取值范围为(　　) A. B. C．[6，7) D. 答案　D 解析　函数f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ω>0)，x∈(0，π]，则ωx＋∈，设ωx＋＝t，画出y＝sint，t∈的图象， 要使f(x)＝1在(0，π]上恰有6个不同的实根，即sint＝在t∈上有6个不同的实根，则6π＋≤ωπ＋<6π＋，则ω的取值范围为.故选D. 6．(2023·山东临沂3月一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB＋bcosA＝2ccosC.若c＝1，则△ABC面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　易知在△ABC中，acosB＋bcosA＝c，因而cosC＝，又0<C<π，所以C＝.由已知c＝1及C＝，得点C在以AB为弦的优弧上，不含端点，如图，易知当△ABC为等边三角形时，S△ABC取得最大值，为×1×＝. 7．(2023·广东广州花都区高三上调研考试)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x＋a，若g(x)存在3个零点，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　令g(x)＝f(x)－x＋a＝0，即f(x)＝x－a，则函数g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数y＝x－a图象的交点个数，作出函数f(x)与函数y＝x－a的图象，如图所示，当x≥－1时，y＝ex，则y′＝ex，令ex＝1，则x＝0，即直线y＝x－a与曲线y＝ex相切的切点为(0，1)，此时a＝－1，因为g(x)存在3个零点，即函数f(x)与函数y＝x－a的图象有3个交点，所以解得－1－≤a<－1，所以a的取值范围是.故选D. 8．(多选)(2024·山西忻州名校高三上学期期中联合质量检测)已知正数a，b，c满足a＋log2a＝b＋3b＝c＋＝5，则下列选项可能正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b 答案　BC 解析　由a＋log2a＝b＋3b＝c＋＝5，得log2a＝5－a，3b＝5－b，＝5－c，在同一直角坐标系中，作出函数y＝log2x，y＝3x(x>0)，y＝(x>0)，y＝5－x的大致图象，如图所示，由图可知，c<b<a或b<a<c. 二、填空题 9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________． 答案　<< 解析　作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以<<. 10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，f(－x)－f(x)＝0且f(0)＝0.当x∈(0，2]时，f(x)＝－2.则函数g(x)＝f(x)－sinx在区间[－6，2]上所有的零点之和为__________． 答案　－12 解析　由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，f(x)＝f(x＋4)，f(x)是周期为4的周期函数，因此可得f(x)的图象关于直线x＝－2对称．y＝sinx是奇函数，它的图象关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称，则它的图象关于直线x＝－2对称，函数g(x)＝f(x)－sinx在区间[－6，2]上所有的零点，即为方程f(x)＝sinx的解，在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝sinx的大致图象，如图，它们在[－6，2]上有6个交点，横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6，其中x2＝－4，x5＝0，由对称性知x1＋x6＝x3＋x4＝－4，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝－12，∴所有的零点之和为－12. 11．(2023·上海控江中学高三上开学考试)已知函数f(x)＝，若对任意实数a，关于x的不等式f(x)≥m在区间上总有解，则实数m的取值范围为________． 答案　 解析　y＝x＋在区间上的图象如图所示，根据题意，对任意实数a，关于x的不等式f(x)≥m在区间上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数f(x)＝的最大值最小即可，如图，函数y＝x＋的图象向下平移到一定程度时，函数f(x)＝的最大值最小．此时只有当f(1)＝f(3)时，才能保证函数f(x)的最大值最小．设函数y＝x＋的图象向下平移了t(t>0)个单位，所以－t＝－(2－t)，解得t＝.所以此时函数f(x)的最大值为－＝，则实数m的取值范围为. 三、解答题 12．记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min{x1，x2，…，xn}，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的最大值． 解　在同一坐标系中作出三个函数y＝x2＋1，y＝x＋3，y＝13－x的图象如图． 由图可知，在实数集R上，函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3，13－x}的图象为直线y＝x＋3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC与直线y＝13－x上C点下方的部分的组合图． 显然，在区间[0，＋∞)上，在C点时，y＝min{x2＋1，x＋3，13－x}取得最大值． 解方程组得点C(5，8)． 所以f(x)max＝8. 13．设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，求|＋|的最小值． 解　设AB的中点为D，则＋＝2， ∴当且仅当O，D，P三点共线且OP⊥l时，|＋|取得最小值． ∵圆心到直线l的距离为＝， |OD|＝＝， ∴|＋|的最小值为2×＝. 14．设函数F(x)＝其中f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝x2－ln x，方程F(x)＝a2有且仅有4个解，求实数a的取值范围． 解　若x∈(0，＋∞)， 则F(x)＝g(x)，F′(x)＝g′(x)＝x－， 当x∈(0，1)时，g′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0， 所以当x＝1时，g(x)取极小值g(1)＝. 若x∈(－∞，0]，则F(x)＝f(x)． ①当a＝0时，方程F(x)＝a2＝0不可能有4个解； ②当a<0时，因为f′(x)＝3a(x2－1)， 当x∈(－1，0)时，f′(x)>0， 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0， 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a， 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图1所示，从图象可以看出F(x)＝a2不可能有4个解； ③当a>0时，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a， 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图2所示，由图象可知，若方程F(x)＝a2有4个解， 则<a2<2a，解得<a<2. 综上，实数a的取值范围是. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$