1 函数与方程思想专练-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 函数与方程思想专练 一、选择题 1．关于x的方程cos2x－sinx＋a＝0，若0<x≤时方程有解，则a的取值范围是(　　) A．[－1，1] B．(－1，1] C．[－1，0] D. 答案　B 解析　∵cos2x－sinx＋a＝0，∴a＝sinx－cos2x＝sinx－(1－sin2x)＝－，∵0<x≤，∴0<sinx≤1，∴<sinx＋≤，∴<≤，∴－1<－≤1，即－1＜a≤1，∴a的取值范围为(－1，1]．故选B. 2．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0 B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 答案　B 解析　原不等式可变形为2x－5－x≤2－y－5y，即2x－≤2－y－.故设函数f(x)＝2x－，因为f(x)为增函数，所以x≤－y，即x＋y≤0.故选B. 3.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为(　　) A.米 B．2米 C．(1＋)米 D．(2＋)米 答案　D 解析　由题意，设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，则AB＝AC－0.5＝(t－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因为x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，此时t取最小值2＋.故选D. 4．已知不等式(kx＋3k)ex<x＋1恰有2个整数解，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　不等式(kx＋3k)ex<x＋1等价于k(x＋3)<，设g(x)＝k(x＋3)，f(x)＝，所以f′(x)＝，当x<0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(－1)＝0，且x>0时，f(x)>0，因此g(x)＝k(x＋3)与f(x)＝的图象如下，当k≤0时，显然不满足条件；当k>0时，只需要满足即解得≤k<.故选D. 5．(2023·江苏连云港统考模拟预测)已知圆锥内切球(与圆锥侧面、底面均相切的球)的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为(　　) A．81π B．96π C．108π D．126π 答案　A 解析　设圆锥的顶点为S，底面圆的圆心为B，内切球的球心为O，则OB＝OC＝2，AB＝AC，因为SB⊥AB，OC⊥SA，所以△ABS∽△OCS，则＝＝，设AB＝AC＝r(r>2)，SA＝l，故＝＝，由＝，得SB＝＋2，由＝，得SB＝，故＋2＝，所以4l＋4r＝lr2－r3，r3＋4r＝l(r2－4)，解得l＝，所以圆锥的表面积为πrl＋πr2＝，令f(r)＝，f′(r)＝＝＝，当r∈(2，2)时，f′(r)<0，当r∈(2，＋∞)时，f′(r)>0，故f(r)＝在(2，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故f(r)＝在r＝2时取得最小值，此时l＝＝＝6，SB＝＋2＝＋2＝8， 设圆锥的外接球球心为M，连接MA，设SM＝MA＝R，则MB＝8－R，由勾股定理得MB2＋AB2＝MA2，即(8－R)2＋(2)2＝R2，解得R＝，故其外接球的表面积为4πR2＝81π.故选A. 6．已知双曲线C：－＝1的左焦点为F，过原点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点A，B，则－的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设|FA|＝r，则r≥c－a＝1.设双曲线的右焦点为F′，由对称性可知|BF′|＝|FA|＝r，则|FB|＝r＋2a＝r＋6，所以－＝－.令f(r)＝－＝，r∈[1，＋∞)，则f′(r)＝＝，令f′(r)＝0，得r＝6，当r∈(1，6)时，f′(r)<0，f(r)单调递减；当r∈(6，＋∞)时，f′(r)>0，f(r)单调递增，所以f(r)min＝f(6)＝－，又当r∈(6，＋∞)时，f(r)<0，所以f(r)max＝f(1)＝，故－的取值范围是.故选B. 二、填空题 7．(2023·湖南师大附中高三开学考试)已知向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，|c|2－2b·c＋8＝0，若c＝λa＋(1－λ)b，则λ的值为________． 答案　± 解析　设＝a，＝b，＝c，易知cos〈a，b〉＝，故∠AOB＝〈a，b〉＝60°，以O为原点，所在直线为x轴，垂直于的方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，易知A(1，)，B(3，0)，则c＝λa＋(1－λ)b＝(3－2λ，λ)，又|c|2－2b·c＋8＝0，则(3－2λ)2＋3λ2－2×3(3－2λ)＋8＝0，解得λ＝±. 8．已知数列{an}的通项公式为an＝13－2n，记数列{|an|}的前n项和为Tn，则的最小值为________． 答案　5 解析　令13－2n≤0，解得n≥，则当n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0，∴当n≤6时，Tn＝＝＝－n2＋12n；当n≥7时，Tn＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a6)－(a1＋a2＋…＋a6＋a7＋a8＋…＋an)＝2(－36＋72)－(－n2＋12n)＝n2－12n＋72.∵＝∴当n≤6时，＝＝6；当n≥7时，∵y＝x＋在(0，6)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，又n∈N*，＝8＋9－12＝5，＝9＋8－12＝5，∴当n≥7时，min＝5.综上所述，的最小值为5. 9．(2023·江苏盐城、淮安、宿迁、如东等地高三第一次大联考)现有一块正四面体形状的实心木块，其棱长为9 cm.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径r＝________cm时，圆柱的体积最大，且最大值为________cm3. 答案　　3π 解析　设圆柱上底面圆心为O1，下底面圆心为O2，则O2为正四面体底面中心，圆柱的上底面与正四面体侧面ACD的交点N在侧面中线AM上，∵正四面体棱长为9，∴BM＝9×＝.∴O2M＝，BO2＝3，AO2＝3，设圆柱底面半径为r，高为h，由O1N∥O2M得＝，∴h＝3－2r，∴V圆柱＝πr2(3－2r)＝3πr2－2πr3，令f(r)＝3πr2－2πr3，则f′(r)＝6πr－6πr2，令f′(r)＝0得r＝，∴r＝时，f(r)max＝π×3×(3－2×)＝3π. 三、解答题 10．(2023·广东汕头金山中学高三摸底)在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝84－a5，a8＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，求的最小值． 解　(1)由a3＋a4＝84－a5得a4＝28， 由得 ∴数列{an}的通项公式为an＝22＋(n－1)×2＝2n＋20. (2)由(1)得，Sn＝22n＋×2＝n2＋21n， ∴＝n＋＋21，n∈N*， 令f(x)＝x＋＋21，x＞0， f′(x)＝1－，当x∈(0，2)时，f′(x)<0； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0， 则f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 又n∈N*，f(4)＝f(5)＝30， ∴当n＝4或5时，取得最小值，为30. 11．某企业创新形式推进党史学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛，两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格．该企业某部门派出甲、乙两个小组，若第一轮比赛时两组通过的概率分别是，，第二轮比赛时两组通过的概率分别是，，两轮比赛过程相互独立． (1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列及数学期望； (2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0<p<1)且相互独立，设该参赛小组被评为“优秀小组”的概率为f(p)，当p＝p0时，f(p)最大，试求p0的值． 解　(1)设甲、乙两组通过两轮制的初赛分别为事件A1，A2， 则P(A1)＝×＝，P(A2)＝×＝. 由题意知X的取值可能为0，1，2， P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝×＋×＝， P(X＝2)＝×＝. 那么X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. (2)由题意，知小组中2人答对的概率为 Cp2(1－p)2， 3人答对的概率为Cp3(1－p)， 则f(p)＝6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＝2p4－8p3＋6p2. f′(p)＝8p3－24p2＋12p＝4p(2p2－6p＋3)， 令f′(p)＝0得p1＝0(舍去)，p2＝，p3＝(舍去)， 在上，f(p)单调递增，在上，f(p)单调递减． 故p＝时，f(p)最大，所以p0＝. 12．在平面直角坐标系中，动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数，记点M的轨迹为T. (1)求轨迹T的方程； (2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由． 解　(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(－1，0)的距离与它到直线x＝－2的距离之比是常数， 得＝，整理得＋y2＝1， ∴轨迹T的方程为＋y2＝1. (2)假设存在直线m，设直线m的方程为 x＝ky－1，由消去x，得(k2＋2)y2－2ky－1＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝， ∴线段AB的中点H的坐标为. ∵四边形APBQ为菱形， ∴直线PQ为线段AB的中垂线． ∴直线PQ的方程为y－＝－k， 令y＝0，解得x＝－，即P. 设Q(x0，y0)，∵P，Q关于点H对称， ∴＝，＝(y0＋0)， 解得x0＝，y0＝， 即Q. ∵点Q在椭圆上，∴＋2＝2， 解得k2＝，于是＝，即＝±， ∴直线m的方程为y＝x＋或y＝－x－. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$