微点培优练4 概率、统计与数列、导数的交汇-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 微点培优练4　概率、统计与数列、导数的交汇 解答题 1．(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第i次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则E (Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)． 解　(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi， 所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1) ＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)设P(Ai)＝pi，依题可知，P(Bi)＝1－pi，则 P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1) ＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)， 即pi＋1＝0.6pi＋(1－0.8)×(1－pi)＝0.4pi＋0.2， 构造等比数列{pi＋λ}， 设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－， 则pi＋1－＝， 又p1＝，p1－＝，所以是首项为，公比为的等比数列， 即pi－＝×， 所以pi＝×＋. (3)因为pi＝×＋，i＝1，2，…，n， 所以当n∈N*时，E(Y)＝p1＋p2＋…＋pn＝×＋＝＋. 2．随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广． (1)公司内部测试的活动方案设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的名额为3i＋2，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少？ ②求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望； (2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的概率为pi＝，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2n(n∈N*)次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于. 解　(1)①甲在第一次中奖的概率为p1＝＝， 乙在第二次中奖的概率为p2＝×＝. ②设甲参加抽奖活动的次数为X， 则X＝1，2，3， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××1＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (2)证明：丙在第奇数次中奖的概率为，在第偶数次中奖的概率为. 设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A， 则P(A)＝1－＝1－， 令m≤n，m∈N*，则丙在第2m－1次中奖的概率P(Y＝2m－1)＝×， 在第2m次中奖的概率P(Y＝2m)＝××＝×， 即P(Y＝2m－1)＝P(Y＝2m)＝×， 在丙中奖的条件下，在第2m－1，2m次中奖的概率为， 则丙参加活动次数的均值为E(Y)＝ ， 设S＝3＋7×＋11×＋…＋(4n－1)×， 则S＝3×＋7×＋…＋(4n－5)×＋(4n－1)×， 所以S＝3＋4－(4n－1)×＝3＋4×－(4n－1)×＝9－(4n＋9)， S＝－×， 所以E(Y)＝ ＝ ＝－<. 3．(2023·湖北黄冈高三模拟)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为 X 1 2 3 0 概率 a a(1－p) a(1－p)2 其中a＞0，0＜p＜1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)． (1)若p＝，求a，并根据全概率公式P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，求P(B)； (2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)． ①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？ ②是否存在p的值使得E(X)＝？请说明理由． 解　(1)由题意，得＋a＋a(1－p)＋a(1－p)2＝1，p＝， 解得a＝. 又P(B|A1)＝，P(B|A2)＝＝， P(B|A3)＝C＋C＝， 所以P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)＝×＋×＋×＝. (2)①由已知＋a＋a(1－p)＋a(1－p)2＝1， 变形整理得＝p2－3p＋＋3. 可设f(p)＝p2－3p＋＋3， 所以f′(p)＝， 设g(p)＝2p3－3p2－1， 即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0， 故g(p)在(0，1)上单调递减， 所以g(p)<g(0)<0，即f′(p)＜0，故f(p)在(0，1)上单调递减，所以增大p的取值，会减小，a增大，即P(X＝2)增大． ②假设存在p使E(X)＝＋2a＋3a(1－p)＝， 又＝p2－3p＋＋3， 将两等式相乘，化简整理得5p3－6p2＋2＝0， 设h(p)＝5p3－6p2＋2， 所以h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4)， 所以h(p)在上单调递减，在上单调递增，故h(p)min＝h＝＞0. 所以不存在p，使得E(X)＝. 4．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)． (1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)； (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1； (3)根据你的理解，说明(2)问结论的实际含义． 解　(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. (2)证法一：设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0， 因为p3＋p2＋p1＋p0＝1， 故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0， 若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1， 故p2＋2p3≤p0. f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)， 因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0， f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0， 易知f′(x)在上单调递减，在上单调递增，且－<0， 故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2， 且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减， 若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0， 而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上单调递减，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0， 故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根； 若x2>1，因为f(1)＝0且f(x)在(0，x2)上单调递减， 故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根， 综上，若E(X)≤1，则p＝1. 若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1， 故p2＋2p3>p0. 此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0>0， 故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1， 且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减， 而f(1)＝0，故f(x4)<0， 又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)上存在一个零点p，且p<1. 所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1， 故当E(X)>1时，p<1. 证法二：由题意得p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，0≤x≤1， 设f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x， 则f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1， 设h(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1， 则h′(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴h(x)即f′(x)单调递增． 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时， f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0， ∴f(x)在[0，1]上单调递减． ∵f(1)＝0，∴p＝1； 当E(X)＝p1＋2p2＋3p3>1时， f′(0)＝p1－1<0， f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1>0， ∴存在唯一的x0∈(0，1)使f′(x0)＝0， 且当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∵f(0)＝p0>0，f(1)＝0，∴f(x0)<f(1)＝0， ∴f(x)在(0，x0)上有一个零点x1， ∴p＝x1<1. (3)实际含义：若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后灭绝的概率小于1. 9 学科网（北京）股份有限公司 $$