微点培优练3 圆锥曲线中的焦点弦、中点弦、垂直弦问题-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 微点培优练3　圆锥曲线中的焦点弦、中点弦、垂直弦问题 一、单选题 1．(2024·陕西西安长安一中高三期末)设经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为9，则|AB|＝(　　) A．18 B．24 C．30 D．36 答案　B 解析　解法一：由题意可知，点F为抛物线y2＝12x的焦点，且＝3，即p＝6.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可得，|AB|＝x1＋x2＋p，又＝9，所以|AB|＝18＋6＝24.故选B. 解法二：因为经过点F(3，0)的直线与抛物线y2＝12x相交于A，B两点，所以该直线的斜率不等于0，设该直线方程为x＝ty＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得y2－12ty－36＝0，所以y1＋y2＝12t，y1y2＝－36，所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝12t2＋6，因为线段AB的中点的横坐标为9，所以x1＋x2＝12t2＋6＝18，所以t＝±1，所以|AB|＝·＝×12＝24.故选B. 2．(2023·四川内江高三三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且kPA·kPB＝，则双曲线C的离心率e的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则由双曲线的对称性，知B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝·＝.因为点A，P在双曲线上，所以两式相减，得＝，所以＝，所以kPA·kPB＝＝，所以e2＝＝，所以e＝.故选B. 3．(2024·浙江杭州学军中学高三模拟)已知椭圆＋＝1(m>0，n>0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，若过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则＝(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则kOM＝＝2，kAB＝＝－1，由AB的中点为M，得x1＋x2＝2x0　①，y1＋y2＝2y0　②，由点A，B在椭圆上，得两式相减，得＋＝0　③，把①②代入③，得＋＝0，整理，得＝2，所以＝.故选A. 4．(2024·河北张家口高三模拟)已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若|AF|＝λ|BF|＝λ，则λ＝(　　) A．1 B. C．3 D．4 答案　C 解析　由|AF|＝λ|BF|＝λ，得|AF|＝λ，|BF|＝1，|AB|＝1＋λ.设直线l与抛物线C的准线交于点D，点A，B，F在准线上的投影分别为A′，B′，F′，则＝＝，即＝，解得|DB|＝.又＝，即＝，解得λ＝3.故选C. 5．(2023·甘肃定西高三统考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以b＝a，则双曲线C的方程为－＝1(a>0)，F1(－a，0)，F2(a，0)，所以直线l的方程为y＝(x－a)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得x2－6ax＋11a2＝0，则x1＋x2＝6a，x1x2＝11a2，所以|MN|＝·＝2＝16a，因为|MF1|＝|MF2|＋2a，|NF1|＝|NF2|＋2a，所以|MF1|＋|NF1|＝|MF2|＋|NF2|＋4a＝|MN|＋4a＝20a，因为△MNF1的周长为36，所以|MF1|＋|NF1|＋|MN|＝36，即20a＋16a＝36，解得a＝1，所以双曲线C的方程为x2－＝1.故选D. 6．过椭圆T：＋y2＝1的焦点F作两条相互垂直的直线l1，l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，则|AB|＋|CD|的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当直线l1，l2有一条斜率不存在时，不妨设直线l1的斜率不存在，则直线l2的斜率为0，此时|AB|＝＝＝，|CD|＝2，所以|AB|＋|CD|＝3，当直线l1，l2的斜率都存在且不为0时，不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－，由椭圆的对称性，不妨设直线l1，l2都过椭圆的右焦点F(1，0)，所以直线l1：y＝k(x－1)，直线l2：y＝－(x－1)，联立l1与椭圆T，得可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝(－4k2)2－4(1＋2k2)·(2k2－2)＝8k2＋8>0，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝· ＝，同理可得，|CD|＝＝，所以|AB|＋|CD|＝＋，令1＋k2＝t，因为k≠0，所以t>1，所以|AB|＋|CD|＝＋＝＋＝＝＝，令y＝2＋－＝－＋，因为t>1，所以∈(0，1)，所以y∈，所以∈，所以|AB|＋|CD|＝6×∈.综上，|AB|＋|CD|的取值范围是.故选C. 二、多选题 7．(2023·广东广州华南师大附中三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的上、下焦点分别是F1，F2，渐近线方程为y＝±2x，P为双曲线E上任意一点，PQ平分∠F1PF2，且F1Q⊥PQ，|OQ|＝2，则(　　) A．双曲线E的离心率为 B．双曲线E的方程为y2－4x2＝1 C．若直线PF1与双曲线E的另一个交点为H，M为PH的中点，则kOMkPH＝ D．点P到两条渐近线的距离之积为 答案　AD 解析　不妨设P为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的下支上一点，延长PF2，F1Q交于点G，如图所示，因为F1Q⊥PQ，PQ平分∠F1PF2，所以Rt△PF1Q≌Rt△PGQ，所以F1Q＝GQ，PF1＝PG，所以△F1PG为等腰三角形，则Q为F1G的中点，又O为F1F2的中点，所以|OQ|＝|F2G|，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝|PG|－|PF2|＝|GF2|＝2a，所以|OQ|＝a＝2，因为双曲线E的渐近线方程为y＝±2x，所以＝2，故b＝1，c2＝b2＋a2＝5，c＝，所以双曲线E的方程为－x2＝1，离心率e＝＝，所以A正确，B错误；对于C，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x，y)，因为P，H在双曲线E上，所以－x＝1　①，－x＝1　②，由①－②并整理，得·＝4，因为kPH＝，kOM＝＝，所以kOMkPH＝4，所以C错误；对于D，－x＝1，即y－4x＝4，所以点P到两条渐近线的距离之积为＝＝，所以D正确．故选AD. 8．已知椭圆＋＝1，点F为右焦点，直线y＝kx(k≠0)与椭圆交于P，Q两点，直线PF与椭圆交于另一点M，则(　　) A．该椭圆的离心率为 B．直线PM与QM的斜率乘积为定值 C．线段PM的长度存在最小值 D．△PQM的周长为定值 答案　ABC 解析　在该椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，则F(2，0)，所以该椭圆的离心率为，故A正确；设M(x1，y1)，P(x2，y2)，Q(－x2，－y2)，则在直线PM，QM的斜率都存在的前提下有kPM＝，kQM＝，于是kPM·kQM＝＝＝＝－，为定值，故B正确；由题意可设直线PM的方程为x＝my＋2，联立消去x，得(3m2＋4)y2＋12my－36＝0，显然Δ>0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以|PM|＝· ＝ ＝＝＝，则当m＝0时，|PM|min＝6，所以线段PM的长度存在最小值，故C正确；当k＝时，直线y＝x与椭圆＋＝1交于点和，不妨取点P为，得直线PF的方程为y＝(x－2)，可求得交点M为，则|PM|＝，|QM|＝，|PQ|＝，此时△PQM的周长为＋＋，当k＝时，联立解得x＝±2，不妨取P(2，3)，则PM垂直于x轴，此时|PM|＝6，|QM|＝4，|PQ|＝2，此时△PQM的周长为10＋2，显然△PQM的周长不为定值，故D错误．故选ABC. 三、填空题 9．(2024·湖北荆州中学高三模拟)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|＝________，△OAB的面积为________． 答案　12　 解析　由题意，知抛物线C：y2＝3x的焦点坐标为F，故过F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝＝x－，联立消去y并整理，得x2－x＋＝0，Δ＝12>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，故|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.因为直线AB的方程为y＝x－，即4x－12y－3＝0，则原点O到直线4x－12y－3＝0的距离为d＝＝，故△OAB的面积为|AB|·d＝×12×＝. 10．(2024·江苏南京高三模拟)设过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1的直线l与C交于M，N两点，若＝3，且·＝0(O为坐标原点)，则C的离心率为________． 答案　 解析　如图，设双曲线C的右焦点为F2，P为MN的中点，|MF1|＝t，由＝3可知，|F1N|＝3t，|MP|＝ |PN|＝t.由双曲线的定义可知，|MF2|＝t＋2a，|NF2|＝3t－2a.由·＝0可知，OM⊥F1N.又O为F1F2的中点，M为F1P的中点，可知OM∥PF2，则PF2⊥F1N.从而PF2为线段MN的垂直平分线，|MF2|＝|NF2|，即t＋2a＝3t－2a，所以t＝2a，则△MNF2为正三角形，|PF2|＝2a.在Rt△F1PF2中，因为|F1P|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，所以C的离心率e＝. 11．(2023·云南曲靖一中高三模拟)已知椭圆C：＋＝1，圆O：x2＋y2＝3，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B.若|PB|＝|QA|，则直线l的方程是________． 答案　x＋y＝ 解析　由题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0，m>0)，联立直线与圆的方程，得消去y并整理，得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－3＝0，由题意可得Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－3)＝0，整理，得m2＝3k2＋3，设A(xA，yA)，则xA＝－.联立直线与椭圆的方程，得消去y并整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－12＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，设AB的中点为M，由|PB|＝|QA|可知，|PM|＝|QM|，即M是PQ的中点．设B(xB，0)，在直线方程中，令y＝0，得xB＝－.由中点坐标公式可知，x1＋x2＝xB＋xA，即－＝－＋，解得k2＝1.因为k<0，所以k＝－1.故m2＝3k2＋3＝6.因为m>0，所以m＝.所以直线l的方程是x＋y＝. 四、解答题 12．已知O是坐标原点，F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G. (1)求动点G的轨迹方程； (2)设(1)中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与x轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程． 解　(1)由题意可得，焦点F(0，1)，显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝kx＋1，与x2＝4y联立，消去y，得x2－4kx－4＝0，Δ＝16(k2＋1)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 所以y1＋y2＝kx1＋1＋kx2＋1＝4k2＋2， 所以 消去k，得动点G的轨迹方程为y＝x2＋. (2)由已知及(1)知，D，E，k≠0，xM＝2k，xG＝， 因为＝＝，所以DG∥ME， |DG|＝，|ME|＝＝， 点D到直线AB的距离d＝＝， 所以四边形DEMG的面积S＝··＝≥×2＝，当且仅当|k|＝，即k＝±时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，直线AB的方程为y＝±x＋1. 13．(2023·安徽马鞍山第二十二中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，P为动点，PA与直线x＝y垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线x＝－y垂直，垂足B位于第四象限，∠APB>90°且|AP|·|BP|＝，记动点P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)已知点M(－2，0)，N(2，0)，设点T与点P关于原点O对称，∠MTN的平分线为直线l，过点P作l的垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求的最大值． 解　(1)由题意设P(x0，y0)，由点到直线的距离公式，得 |AP|＝，|BP|＝， 所以|AP|·|BP|＝·＝， 即|x－3y|＝3，因为垂足A位于第一象限，垂足B位于第四象限，∠APB>90°， 所以动点P的轨迹C的方程为－y2＝1(x>0)． (2)由对称性，不妨设点P在第一象限，设P(x0，y0)，则T(－x0，－y0)， 设直线l的斜率为k，记α＝(1，k)，由l为∠MTN的平分线， 则有＝，其中－y＝1，x0≥，＝(x0－2，y0)，＝(x0＋2，y0)， 所以||＝ ＝＝x0－， 同理可得，||＝x0＋，代入＝，得 ＝，化简，得x0＝3ky0. 将x0＝3ky0代入－y＝1，x0≥， 得x0＝，y0＝， 所以P，T， 设直线l的方程为y＝kx＋n，将T代入直线l的方程，得n＝， 所以直线l的方程为y＝kx＋，k>， 由点到直线的距离公式，得 |PH|＝＝. 由题意，得直线PQ的斜率为－，设直线PQ的方程为x＝－ky＋m， 将点P代入直线PQ的方程， 得m＝， 所以直线PQ的方程为x＝－ky＋， 将其与－y2＝1(x>0)联立，得 (k2－3)y2－y＋＝0. 设Q(x1，y1)，则y0＋y1＝， y0y1＝， 由y0y1<0可知k∈， |PQ|＝|y0－y1|＝· ＝， 由基本不等式，得＝≥＝3， 当且仅当3－k2＝3k2－1，即k2＝1时，等号成立， 因为k∈，故k＝1，所以＝≤，当且仅当k＝1时，等号成立． 所以的最大值为. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$