单元质量测试(八) 概率与统计-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 单元质量测试(八) 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2024·湖南长沙长郡中学高三上学期开学考试)为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人、高二1002人、高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么从高三年级抽取的学生人数为(　　) A．36 B．42 C．50 D．54 答案　D 解析　根据比例分配的分层随机抽样的方法，抽样比为＝，从高三年级抽取的学生人数为1503×＝54.故选D. 2．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是(　　) A．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案　C 解析　两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C. 3．(2024·福建福州高三上学期第一次质量检测)“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是(　　) A．90 B．180 C．270 D．360 答案　B 解析　根据题意可知，小明可以从春、夏季的节气中分别选取1个，2个或从春、夏季的节气中分别选取2个，1个，其中从春、夏季的节气中分别选取1个，2个的不同情况有CC＝90种，从春、夏季的节气中分别选取2个，1个的不同情况有CC＝90种，所以小明选取节气的不同情况有90＋90＝180种．故选B. 4．(2024·湖北武汉硚口区高三质量检测)公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则该产品用户满意度评分的平均数、85%分位数分别为(　　) A．8分，9分 B．8分，8.5分 C．7.2分，9分 D．7.2分，8.5分 答案　C 解析　把10个数据从小到大排列为4，5，7，7，7，7，8，8，9，10，故平均数为＝7.2(分)，又10×0.85＝8.5，所以85%分位数是第9个数，即9分．故选C. 5．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设该射手每次射击命中的概率为p，两次射击命中的次数为X，则X～B(2，p)． 解法一：由题可知，P(X＝0)＋P(X＝1)＝，即Cp0(1－p)2＋Cp(1－p)＝，解得p＝.故选C. 解法二：由对立事件的概率公式，得1－P(X＝2)＝，即1－Cp2＝.解得p＝.故选C. 6．已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，若a4＝－35，则a1＋a3＋a5＋a7＝(　　) A．128 B．64 C．－63 D．－64 答案　B 解析　解法一：由题意可知a4＝C(－m)3＝－35，解得m＝1.所以a1＋a3＋a5＋a7＝C(－m)6＋C(－m)4＋C(－m)2＋C(－m)0＝C＋C＋C＋C＝64. 解法二：由题意可知a4＝C(－m)3＝－35，解得m＝1.设f(x)＝(x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则f(1)＝0＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，f(－1)＝－27＝a0－a1＋a2－…－a7，所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝64. 7．(2024·安徽十校联盟摸底联考)2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕．为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂　青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中(包含4道图片题和2道视频题)，依次不放回地随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到图片题”，事件B为“第2次抽到视频题”，则P(B|)＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为P(A)＝＝，所以P()＝1－＝，事件B表示两次均抽到视频题，故P(B)＝＝，由条件概率求解公式，得P(B|)＝＝.故选C. 8．(2024·湘豫名校高三联考)某书店为了解其受众人群，对100名顾客的年龄(x)进行调研，并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图．已知A，B，C，…，G是各个小矩形上短边的中点，若点A，B，C在一条直线上，点C，D，E，F，G在一条直线上，且c＝0.024，g＝0.0064，则下列描述正确的是(　　) A．f的值为0.00108 B．数据x的众数大于中位数 C．数据x的中位数小于平均数 D．数据x的第80百分位数大于60 答案　C 解析　因为＝0.0044，所以d＝0.024－0.0044＝0.0196，e＝0.0196－0.0044＝0.0152，f＝0.0152－0.0044＝0.0108.因为0.1－0.0196－0.0152－0.0108－0.0064＝0.048，所以b＝＝0.016，a＝0.048－0.024－0.016＝0.008，A错误；数据x的众数的估计值为＝35，设中位数为t，因为(0.008＋0.016＋0.024)×10＝0.48，0.48＋0.0196×10＝0.676，所以中位数位于区间[40，50)内，所以0.0196×(t－40)＝0.02，解得t≈41.02，即数据x的中位数约为41.02，所以数据x的众数小于中位数，B错误；因为＝15×0.08＋25×0.16＋35×0.24＋45×0.196＋55×0.152＋65×0.108＋75×0.064＝42.6，所以数据x的中位数小于平均数，C正确；因为1－(0.0108＋0.0064)×10＝0.828，所以数据x的第80百分位数小于60，D错误．故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用该样本估计总体，以下说法正确的是(　　) A．57周岁以上参保人数最少 B．18～30周岁人群参保总费用最少 C．C险种更受参保人青睐 D．31周岁以上的人群约占参保人群的80% 答案　ACD 解析　由扇形图可知，57周岁以上参保人数最少，故A正确；设样本量为m，则57周岁以上人群参保总费用约为6300×m×10%＝630m，18～30周岁人群参保总费用约为3500×m×20%＝700m，630m<700m，所以18～30周岁人群参保总费用不是最少的，故B错误；由条形图可知，C险种参保比例最高，故C正确；由扇形图可知，31周岁以上的人群约占参保人群的80%，故D正确．故选ACD. 10．袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则(　　) A．X～B B．P(X＝2)＝ C．X的期望E(X)＝ D．X的方差D(X)＝ 答案　ACD 解析　由于每次取球互不影响，故所有结果有5类：①4次全是白球，X＝0，其概率为P(X＝0)＝＝；②4次只有1次是黑球，X＝1，其概率为P(X＝1)＝C××＝；③4次只有2次是黑球，X＝2，其概率为P(X＝2)＝C××＝；④4次只有3次是黑球，X＝3，其概率为P(X＝3)＝C××＝；⑤4次全是黑球，X＝4，其概率为P(X＝4)＝＝.故X～B，故A正确，B错误；因为X～B，所以X的期望E(X)＝4×＝，故C正确；因为X～B，所以X的方差D(X)＝4××＝，故D正确．故选ACD. 11．(2024·黑龙江宾县第二中学高三质量检测)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为54 B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为AC C．若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是CCA＋CA D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A 答案　ABD 解析　对于A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A错误；对于B，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排四项工作，有CA种安排方法，故B错误；对于C，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有CCA＋CA种安排方法，故C正确；对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的3组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，则有A种安排方法，故D错误．故选ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．(2024·福建漳州高三毕业班第一次教学质量检测)有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占40%，乙工厂生产的占60%.已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为3%，2%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是________． 答案　0.024 解析　设A1，A2分别表示甲厂、乙厂生产的产品，B表示取到次品，则P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.03，P(B|A2)＝0.02，所以从中任取一件产品取到次品的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.03＋0.6×0.02＝0.024. 13．如果的展开式中各项系数之和为128，则n＝________；二项展开式中x－3的系数是________． 答案　7　21 解析　令x＝1，得展开式的各项系数和为2n，所以2n＝128，解得n＝7.展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r37－r·Cx.令7－＝－3，解得r＝6，所以二项展开式中x－3的系数为3C＝21. 14．(2023·安徽蚌埠高三模拟)某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x/元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 销量y/件 100 94 93 90 85 78 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为________元． (附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝ ，＝－；参考数值：xiyi＝5116，x－62＝0.7) 答案　9.5 解析　由题意，＝×(9＋9.2＋9.4＋9.6＋9.8＋10)＝9.5，＝×(100＋94＋93＋90＋85＋78)＝90，由 ＝＝＝－20，所以＝90＋9.5×20＝280，则＝－20x＋280，设工厂的利润为L，则L＝(x－5)(－20x＋280)＝20×(x－5)(－x＋14)≤20×＝405，当且仅当x－5＝14－x，即x＝9.5时等号成立，所以x＝9.5时，工厂获得最大利润，为405元． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 解　(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C， 由题意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28. (2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3， 且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504， P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]P(B)[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398， P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092. P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.504 0.398 0.092 0.006 数学期望E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6. 16．(2023·重庆高三模拟)(本小题满分15分)清华大学电子工程系黄翊东教授团队在超光谱成像芯片的研究中取得重要进展，研制出国际首款实时超光谱成像芯片，相比已有光谱检测技术，实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越．为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，结合近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i＝1，2，…，12)，该团队建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．经过对历史数据的初步处理，得到散点图如图． 令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，12)，计算得到如下数据： (xi－)2 (yi－)2 (xi－)(vi－) 20 66 770 200 14 (ui－)2 (vi－)2 (ui－)(yi－) 460 4.20 3125000 0.308 21500 (1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型； (2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)； (ⅱ)若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是多少亿元？ 附：①相关系数r＝，回归直线＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝， ＝－ . ②参考数据：308＝77×4，≈8.9443，e4.3820≈80. 解　(1)由题意，r1＝＝＝＝0.86， r2＝＝＝≈0.91， ∵0.86<0.91，即|r1|<|r2|， ∴从相关系数的角度，模型②y＝eλx＋t的拟合程度更好． (2)(ⅰ)由(1)得选择模型②y＝eλx＋t，可建立v关于x的经验回归方程， 则v＝ln y＝λx＋t，又 ＝＝≈0.018， ∴ ＝－≈4.20－0.018×20＝3.84， ∴ ＝0.02x＋3.84， ∴ln ＝0.02x＋3.84，即＝e0.02x＋3.84. (ⅱ)由(ⅰ)得＝e0.02x＋3.84， 下一年销售额需达到80亿元， 即80＝e0.02x＋3.84， ∵e4.3820≈80， ∴0.02x＋3.84≈4.382，解得x≈27.1， 故若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元． 17．(本小题满分15分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列． (1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数； (2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w至少定为多少？ (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值． 解　(1)∵前四组频数成等差数列， ∴设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d， ∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5. 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25. (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于等于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w＝2.5＋≈3. (3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P(A≤2.5)＝0.7， 由题意，知X～B(3，0.7)， P(X＝0)＝C×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C×0.7×0.32＝0.189， P(X＝2)＝C×0.72×0.3＝0.441， P(X＝3)＝C×0.73＝0.343. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 ∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝3×0.7＝2.1. 18．(2024·山东淄博实验中学高三模拟)(本小题满分17分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表： 喜爱 不喜爱 合计 男生 6 女生 10 合计 48 已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为. (1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程)； (2)根据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？ (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d， α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解　(1)依题意，得喜爱打篮球的学生人数为48×＝32， 完善2×2列联表如下： 喜爱 不喜爱 合计 男生 22 6 28 女生 10 10 20 合计 32 16 48 (2)零假设H0：喜爱打篮球与性别无关， 由(1)，得χ2＝≈4.286>3.841＝x0.05， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立， 所以认为喜爱打篮球与性别有关． (3)喜爱打篮球的女生人数X的可能取值为0，1，2， 则P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 19．(本小题满分17分)“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2022年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表： 消费金额(千元) [3，5) [5，7) [7，9) [9，11) [11，13) [13，15] 人数 30 50 60 20 30 10 (1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用比例分配的分层随机抽样的方法在消费金额为[9，11)和[11，13)的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为[11，13)的人数的分布列和数学期望； (2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2022年所有学员的消费金额可视为服从正态分布N(μ，σ2)，μ，σ2分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的花费用区间的中点值替代)． ①试估计该机构学员2022年消费金额为[5.2，13.6]的概率(保留一位小数)； ②若从该机构2022年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为[5.2，13.6]的人数为η，求η的方差． 参考数据：≈1.4；若随机变量Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Y≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Y≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Y≤μ＋3σ)≈0.9973. 解　(1)由题意，得抽中的5人中消费金额为[9，11)的人数为×5＝2，消费金额为[11，13)的人数为×5＝3， 设选取的3人中消费金额为[11，13)的人数为X，则X的可能取值为1，2，3， 所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (2)①设该机构学员2022年的消费金额为Y. 由题意得μ＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8， σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，所以σ＝＝2≈2.8， 所以P(5.2≤Y≤13.6)＝P(8－2.8≤Y≤8＋2×2.8)≈＋≈0.8. ②由题意及①得η～B，n＝4，p＝， 所以D(η)＝np(1－p)＝4××＝. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$