考点测试46 成对数据的统计分析-【金版教程】2025年高考数学一轮总复习首选用卷全书Word（新教材）

数学　高考总复习首选用卷 考点测试46　成对数据的统计分析 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中、低等难度 考点 研读 1.会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的经验回归方程系数公式建立经验回归方程 3．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用 4．了解一元线性回归模型的基本思想、方法及其简单应用 一、基础小题 1．对三组数据进行统计，获得以下散点图，其相关系数依次是r1，r2，r3，则它们的大小关系是(　　) A．r1＞r3＞r2 B．r1＞r2＞r3 C．r2＞r1＞r3 D．r3＞r1＞r2 答案　A 解析　由散点图可知，图1两个变量正相关，且线性相关性较强，故r1接近1，图2两个变量负相关，且线性相关性较强，故r2接近－1，图3两个变量线性相关性较弱，所以r1＞r3＞r2.故选A. 2．某公司一种型号的产品近期销售情况如下表： 月份(x) 2 3 4 5 6 销售额y/万元 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据上表可得到经验回归方程＝0.75x＋，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额约为(　　) A．19.5万元 B．19.25万元 C．19.15万元 D．19.05万元 答案　D 解析　由表可知＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(15.1＋16.3＋17＋17.2＋18.4)＝16.8，则样本点的中心为(4，16.8)，在经验回归直线上，故16.8＝0.75×4＋，得＝13.8.故当x＝7时， ＝0.75×7＋13.8＝19.05.故选D. 3．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案　D 解析　由题设知，这组样本数据正相关，所有样本点都在一条直线上，故其样本相关系数为1.故选D. 4．(多选)自然环境中，大气压强受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压强发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到的海拔6～15 km的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为1＝－4.0x＋68.5，决定系数为R＝0.99.根据非线性回归模型得到非线性经验回归方程为2＝132.9e－0.163x，决定系数为R＝0.99.则下列说法正确的是(　　) A．由散点图可知，大气压强与海拔负相关 B．由方程＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1 km，大气压强必定降低4.0 kPa C．由方程＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程＝132.9e－0.163x的预报效果更好 答案　ACD 解析　观察题中散点图，可知大气压强与海拔负相关，A正确；通过经验回归方程＝－4.0x＋68.5，可知海拔每升高1 km，大气压强大约降低4.0 kPa，B错误；当x＝11时，代入方程＝－4.0x＋68.5，计算可得预报值＝24.5，则残差为22.6－24.5＝－1.9，C正确；随着海拔的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数，因此方程2＝132.9e－0.163x的预报效果更好，D正确．故选ACD. 5．(多选)电影《八角笼中》讲述了年轻人为理想而努力奋斗的故事．该电影一上映就引起了广大观众的热议，票房也超出了预期．现随机抽取若干名观众进行调查，所得数据统计如下表所示，则(　　) 喜欢该电影 不喜欢该电影 男性观众 160 40 女性观众 140 60 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. α 0.10 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 A.若在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为 B．在被调查的观众中，男性不喜欢该电影的比例高于女性 C．根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有关联 D．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，可以认为被调查观众的性别与对电影的喜爱程度有关联 答案　AC 解析　对于A，由喜欢该电影的男性观众有160人，得在被调查的观众中随机抽取1人，则抽到喜欢该电影的男性观众的概率为＝，所以A正确；对于B，因为男性不喜欢该电影的比例为，女性不喜欢该电影的比例为，又>，所以B错误；由题意可得χ2＝＝≈5.333，因为3.841<5.333<6.635，所以C正确，D错误．故选AC. 6．已知变量y关于x的回归方程为＝ebx－0.5，若对＝ebx－0.5两边取自然对数，可以发现ln 与x线性相关，现有一组数据如下表所示，x＝5时，预测y的值为________． x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 答案　e (或e7.5) 解析　对＝ebx－0.5两边取对数，得ln ＝bx－0.5.令＝ln ，则＝bx－0.5. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝＝2.5，＝＝3.5，代入＝b－0.5，得3.5＝b·2.5－0.5，故b＝1.6，故＝1.6x－0.5，＝e1.6x－0.5.当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e. 二、高考小题 7．(2023·天津高考)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 答案　C 解析　因为相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A，B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D错误．故选C. 8．(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 答案　D 解析　由散点图分布可知，散点图分布在一个对数型函数图象的附近，因此最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋bln x．故选D. 9．(2017·山东高考)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为＝x＋.已知xi＝225，yi＝1600,＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（　　） A.160 B.163 C.166 D.170 答案　C 解析　xi＝225，∴＝xi=22.5.∵yi＝1600，∴＝ yi=160 又＝4，∴＝ -＝160－4×22.5＝70.∴回归直线方程为＝4x＋70.将x＝24代入上式得＝4×24＋70＝166.故选C. 三、模拟小题 10.（多选）（2023·湖北黄冈中学高三模拟）已知由样本数据点集合{（xi，yi）|i＝1，2，…，n}求得经验回归方程为＝2x－1，且＝3，现发现两个数据点（2.4，3.1）和（3.6，6.9）误差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则（　　） A.变量x与y具有正相关关系 B.去除后的经验回归方程为＝1.2x＋1.4 C.去除后y的估计值增加速度变慢 D.去除后相应于样本点（2.5，4）的残差为0.4 答案　ABC 解析　对于A，因为经验回归方程为＝2x－1，2＞0，所以变量x与y具有正相关关系，故A正确；对于B，当＝3时，＝3×2－1＝5，样本点的中心为（3，5），去掉两个数据点（2.4，3.1）和（3.6，6.9）后，样本中心点还是（3，5），又因为去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，所以5＝3×1.2＋ ，解得 ＝1.4，所以去除后的回归方程为＝1.2x＋1.4，故B正确；对于C，因为2＞1.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C正确；对于D，因为＝1.2×2.5＋1.4＝4.4，所以y－=4－4.4＝－0.4，故D错误．故选ABC. 11．(多选)(2023·福建师范大学附属中学高三模拟)炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择．为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下表格．零假设H0：旅行方式与年龄没有关联，则下列说法中正确的是(　　) 小于40岁 不小于40岁 自由行 38 19 跟团游 20 23 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 A.在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为 B．在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为 C．根据α＝0.01的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误的概率不超过0.01 D．根据α＝0.05的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误的概率不超过0.05 答案　BD 解析　选择自由行的游客人数为38＋19＝57，故在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为＝，故A错误；选择自由行的游客中，小于40岁和不小于40岁的人数之比为2∶1，则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁，设事件A为“选取的2人均小于40岁”，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为1－P(A)＝1－＝1－＝，故B正确；因为χ2＝≈4.087<6.635，所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误；因为χ2≈4.087>3.841，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误的概率不超过0.05，故D正确．故选BD. 一、高考大题 1．(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. (ⅰ)证明：R＝·； (ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值． 附：χ2＝， P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 解　(1)列表： 不够良好 良好 合计 病例组 40 60 100 对照组 10 90 100 合计 50 150 200 χ2＝＝ ＝24>6.635， 故有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异． (2)(ⅰ)证明：由题意R＝＝÷＝·， 而·＝·＝·. 故R＝·. (ⅱ)由调查数据可得P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝， 且P(|B)＝1－P(A|B)＝，P(|)＝1－P(A|)＝，所以R＝×＝6. 2．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得x＝0.038，y＝1.6158，xiyi＝0.2474. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186 m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r＝，≈1.377. 解　(1)设这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为， 则＝＝0.06，＝＝0.39. (2)r＝ ＝ ＝＝≈≈0.97. (3)设所有这种树木的根部横截面积总和为X，总材积量为Y， 则＝，故Y＝×186＝1209(m3)． 二、模拟大题 3．(2024·山东济南高三上学期开学摸底考试)随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018～2022年的线下销售额如下： 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额y(单位：万元) 1513 1465 1202 1060 860 (1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于x的回归方程，并预测2024年该商场的线下销售额． 参考公式及数据：r＝， ＝，＝－，yi＝6100， xiyi＝16589，(x－52)(y－52) ≈1736. 解　(1)由已知数据，得＝3，＝＝＝1220， 所以xiyi－5＝16589－5×3×1220＝－1711， 所以r＝≈≈－0.9856， 因为|r|非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系． (2)由已知数据，得x＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 所以＝＝＝－171.1， 5＝－＝1220－(－171.1)×3＝1733.3， 所以y关于x的回归方程为＝－171.1x＋1733.3. 令x＝7，则＝－171.1×7＋1733.3＝535.6(万元)． 所以预测2024年该商场的线下销售额为535.6万元． 4．(2024·重庆渝北中学高三上学期月考)体育强则中国强．站在“两个一百年”奋斗目标交汇的历史节点上，作为教育部直属重点大学附中，西南大学附中始终高度重视学校体育工作，构建德智体美劳全面培养的教育体系．现从该校随机抽取100名学生调查其运动习惯(称每周运动不少于3次的为运动达标，否则为运动不达标)，得到如下数据： 运动达标 运动不达标 合计 男 25 40 女 40 合计 (1)补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为运动达标与性别有关联？ (2)用样本估计总体，将频率视为概率，现从该校所有男生中随机抽取1人进行调查，从该校所有女生中随机抽取2人进行调查，抽取的学生运动是否达标相互独立，设随机变量X表示这3人中运动达标的人数，求X的分布列与数学期望． 附：χ2＝ α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 解　(1)列联表补充填写如下： 运动达标 运动不达标 合计 男 25 15 40 女 20 40 60 合计 45 55 100 由表中数据可得， χ2＝＝≈8.249>7.879， 故根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能认为运动达标与性别有关联． (2)由题意可得，每名男生运动达标的概率为 ＝，每名女生运动达标的概率为＝， 随机变量X的所有可能取值是0，1，2，3， P(X＝0)＝×＝＝， P(X＝1)＝×＋×C××＝＝， P(X＝2)＝×＋×C××＝， P(X＝3)＝×＝， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 5．(2024·重庆市七校高三上学期开学考试)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y ℃关于时间x(min)的回归方程模型，通过实验收集在25 ℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图． (xi－)(yi－) (xi－)(ωi－) 73.5 3.85 －95 －2.24 表中：ωi＝ln (yi－25)，＝ωi (1)根据散点图判断，①y＝a＋bx与②y＝d·cx＋25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程； (3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳，根据(2)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－； ②参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7. 解　(1)根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，②y＝d·cx＋25更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型． (2)由y＝d·cx＋25，有y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln (y－25)＝ln (d·cx)＝ln d＋xln c，设ω＝ln (y－25)，a＝ln d，b＝ln c， 则ω＝bx＋a，又＝＝3， 所以 (xi－)2＝28，所以＝＝＝－0.08， 所以＝－＝3.85＋0.08×3＝4.09，＝e－0.08，所以＝e4.09. 所以回归方程为＝e4.09·e－0.08x＋25＝e4.09－0.08x＋25. (3)将＝60代入回归方程＝e4.09－0.08x＋25，得60＝e4.09－0.08x＋25， 化简，得35＝e4.09－0.08x，即4.09－0.08x＝ln 35， 又e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln 7≈1.9，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7， 所以ln 60－0.08x≈ln 35， 即0.08x≈ln 60－ln 35＝ln ＝ln 12－ln 7＝(2ln 2＋ln 3)－ln 7≈2×0.7＋1.1－1.9＝0.6， 所以x≈＝7.5， 所以大约需要放置7.5 min才能达到最佳饮用口感． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$